Equazioni differenziali con parametro

[crio1]

Ciao , ho un piccolo problemino, stavo iniziando a svolgere questo esercizio sulle equazioni differenziali quando mi imbatto nel fatto che ci sia un magnifico parametro -.- , insomma la mia domanda è come si svolgono esercizi del genere?

$ y^{\prime}'+delta y^{\prime}+y=cos(x) $

vi ringrazio in anticipo per l'aiuto

[Brancaleone1]

Beh, partendo dall'omogenea associata:

$y''+delta y' + y =cos(x)$

$=>lambda^2+delta lambda + 1=0$

$=> Delta=delta^2-4$

da cui hai tre casi diversi (e quindi tre tipi di soluzioni diverse):

1) Caso $Delta > 0 <=> delta^2>4 <=> delta <-2 cup delta>2$

$lambda_(1,2)=(-delta pm sqrt(delta^2-4))/2$ e perciò

$=>y_text(omogenea)(x)=c_1e^((-delta + sqrt(delta^2-4))/2x)+c_2e^((-delta - sqrt(delta^2-4))/2x)$

2) Caso $Delta = 0 <=> delta^2=4 <=> delta = pm 2$

$=>y_text(omogenea)(x)=e^(-delta/2x)(c_1+c_2x)$

3) Caso $Delta < 0 <=> delta^2<4 <=> -2
$lambda_(1,2)=(-delta pm sqrt(delta^2-4))/2$ da cui $alpha=-delta/2$ e $beta=sqrt(delta^2-4)/2$ e quindi

$=>y_text(omogenea)(x)=e^(-delta/2x)[c_1 cos(sqrt(-delta^2+4)/2x)+c_2 sin(sqrt(-delta^2+4)/2x)]$

Ora manca solo la soluzione particolare...

[crio1]

Grazie mille , sei gentilissimo , ascoltata per la soluzione particolare devo vedere se nel caso 3 ottengo la soluzione uguale alla funzione , allora prenderó una forma diversa , altrimenti procedo con quella normale giusto ?