Equazioni differenziali approssimate ?
premesso che è la prima volta che posto formule, se faccio casino perdonatemi
Allora, stavo studiando quando mi sono imbattuta in questo passaggio di analisi matematica, che forse è una scemenza ma che non capisco. é anche probabile che il tema sia stato affrontato più volte, ma ammetto di non saper nemmeno cosa cercare:
Mi trovo davanti a questa equazione:
$y''(x)=(x^2-A)y(x)$
dove A è una costante definita positiva
Per x molto grande l'equazione può essere approssimata in questo modo:
$y''(x)~~x^2y(x)$
la cui soluzione approssimata sempre per x molto grandi è:
$y(x)~~Be^((x^2)/2)+Ce^(-(x^2)/2)$
però io voglio solo soluzioni che siano convergenti all'infinito, quindi pongo $B=0$
E fin qui tutto ok.
ecco il passaggio che mi turba:
"QUINDI, conoscendo la soluzione per x che tende all'infinito, LA SOLUZIONE GENERALE sarà del tipo:
$y(x)=f(x)e^(-(x^2)/2)$
dove f(x) è una funzione che poi mi andrò a ricavare.
"
in pratica è quel "QUINDI" che mi sfugge...se qualcuno potesse aiutarmi...
Allora, stavo studiando quando mi sono imbattuta in questo passaggio di analisi matematica, che forse è una scemenza ma che non capisco. é anche probabile che il tema sia stato affrontato più volte, ma ammetto di non saper nemmeno cosa cercare:
Mi trovo davanti a questa equazione:
$y''(x)=(x^2-A)y(x)$
dove A è una costante definita positiva
Per x molto grande l'equazione può essere approssimata in questo modo:
$y''(x)~~x^2y(x)$
la cui soluzione approssimata sempre per x molto grandi è:
$y(x)~~Be^((x^2)/2)+Ce^(-(x^2)/2)$
però io voglio solo soluzioni che siano convergenti all'infinito, quindi pongo $B=0$
E fin qui tutto ok.
ecco il passaggio che mi turba:
"QUINDI, conoscendo la soluzione per x che tende all'infinito, LA SOLUZIONE GENERALE sarà del tipo:
$y(x)=f(x)e^(-(x^2)/2)$
dove f(x) è una funzione che poi mi andrò a ricavare.
"
in pratica è quel "QUINDI" che mi sfugge...se qualcuno potesse aiutarmi...
Risposte
mi rendo conto che forse la domanda non è ben posta...il mio problema è perchè da C che è una costante, si passi a f(x) che invece è una funzione...
ehm....nessuno che sappia aiutarmi?? proprio nessuno?
Non conosco un teorema che giustifichi quel "quindi". Può darsi che esista, immagino bisognerebbe rovistare dalle parti dello studio "qualitativo" delle equazioni differenziali, comportamenti asintotici, o non so che altro posto.
Propendo a ritenere la stada seguita un approccio "tentative": seguo un ragionamento che sembra plausibile e provo a trarne conclusioni. Ovviamente in questo caso ho un dovere di verificare "ex post". Se in qualche modo riesco a verificare o a provare la correttezza della asserzione finale, sono contento: ce l'ho fatta.
Nel caso specifico, il sostituire una costante con una funzione è una delle cose più standard che si usino in questi approcci alla "sperindio".
Propendo a ritenere la stada seguita un approccio "tentative": seguo un ragionamento che sembra plausibile e provo a trarne conclusioni. Ovviamente in questo caso ho un dovere di verificare "ex post". Se in qualche modo riesco a verificare o a provare la correttezza della asserzione finale, sono contento: ce l'ho fatta.
Nel caso specifico, il sostituire una costante con una funzione è una delle cose più standard che si usino in questi approcci alla "sperindio".
Potrebbe trattarsi del "metodo di variazione delle costanti arbitrarie" ?
A parere mio quel "QUINDI" non ha un significato matematico -- e' sempre possibile scrivere $y(x)=f(x)e^{-x^2/2}$ per un'opportuna $f(x)$ 
Pero' ha probabilmente un significato operativo "euristico", come peraltro gia' detto dagli altri prima di me. Dato che per $x$ grande la costante e'
molto piccola rispetto a $x^2$ e dato che so che $e^{-x^2/2}$ "somiglia" alla soluzione per il problema con il solo $x^2$, posso provare a cercare la soluzione $y(x)$ come una
perturbazione di $e^{-x^2/2}$. Questo lo potrei fare in ogni caso (come ho detto all'inizio), ma probabilmente nel caso in esame ho piu' probabilita' che funzioni.
Allora cio' che c'e' prima dell "QUINDI" non e' che un "indizio" che mi suggerisce un modo di procedere - sta alla verifica successiva se le cose andranno bene o male.
Per esempio, se le cose funzionano mi aspetto che $f(x)\to1$ per $x\to\infty$.
Pero' ha probabilmente un significato operativo "euristico", come peraltro gia' detto dagli altri prima di me. Dato che per $x$ grande la costante e'
molto piccola rispetto a $x^2$ e dato che so che $e^{-x^2/2}$ "somiglia" alla soluzione per il problema con il solo $x^2$, posso provare a cercare la soluzione $y(x)$ come una
perturbazione di $e^{-x^2/2}$. Questo lo potrei fare in ogni caso (come ho detto all'inizio), ma probabilmente nel caso in esame ho piu' probabilita' che funzioni.
Allora cio' che c'e' prima dell "QUINDI" non e' che un "indizio" che mi suggerisce un modo di procedere - sta alla verifica successiva se le cose andranno bene o male.
Per esempio, se le cose funzionano mi aspetto che $f(x)\to1$ per $x\to\infty$.
"piero_":
Potrebbe trattarsi del "metodo di variazione delle costanti arbitrarie" ?
Concordo, mi sembra l'unica spiegazione (semi-sensata) plausibile!
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