Equazioni differenziali accoppiate

[bestiedda2]

buongiorno a tutti

Qualcuno mi può spiegare cosa si intende per "sistema di equazioni differenziali accoppiate" ?

Scusate ma non ho trovato uno straccio di definizione "attendibile" su internet

Grazie a tutti

[Luca.Lussardi]

Vado per esempi: le due equazioni ordinarie $y'+y=1$ e $z''-4z'=\sin x$ non sono accoppiate; le due equazioni ordinarie $y'+2y=z'$ e $z''-4z'+y'-y=\cos x$ sono accoppiate.

[bestiedda2]

"Luca.Lussardi":Vado per esempi: le due equazioni ordinarie $y'+y=1$ e $z''-4z'=\sin x$ non sono accoppiate; le due equazioni ordinarie $y'+2y=z'$ e $z''-4z'+y'-y=\cos x$ sono accoppiate.

non mi aiuta, mi spiace. Non c'è una definizione?

[gugo82]

Poco formalmente, due (o più) EDO si dicono accoppiate se, almeno in linea di principio, non è possibile risolverle singolarmente.

Ad esempio, le EDO del sistema:
\[
\begin{cases}
y^\prime +2y -z^\prime=0\\
z^{\prime \prime}-4z^\prime +y^\prime -y=\cos x
\end{cases}
\]
sono accoppiate perchè, almeno in linea di principio, non puoi risolverle singolarmente (infatti, sia nella prima che nella seconda compaiono entrambe le incognite).

Chiaramente, le EDO del sistema precedente possono essere disaccoppiate con qualche trucchetto: infatti, derivando la prima EDO si ottiene \(z^{\prime \prime} =y^{\prime \prime} +2y^\prime\) e sostituendo nella seconda si trova l'equazione nella sola \(y\):
\[
y^{\prime \prime} -y^\prime -9y=\cos x
\]
la quale può essere risolta facilmente; una volta determinato l'integrale generale, basta sostituire questo nella prima EDO e ricavare \(z\)...
Tuttavia, questi procedimenti algebrici non sono sempre possibili.