Equazioni differenziali accoppiate
Salve a tutti ,
non riesco a capire come svolgere questo sistema di equazioni differenziali :
$ { ( xi(t)-L'(di')/dt-M(di'')/dt=R'i' ),(-L''(di'')/dt-M(di')/dt=R''i'' ):} $
Come avrete capito si tratta di due circuiti accoppiati, con
$xi(t)=$ forza elettromotrice del primo circuito variabile
$L'=$ coefficiente di autoinduzione del primo circuito
$i'$= corrente nel primo circuito
$R'=$ resistenza del primo circuito
$M=$ coefficiente di mutua induzione
e seguono le componenti del secondo circuito..
Ora io so risolvere i sistemi di EDO , ma non so proprio come impostare questo sistema , in pratica mi blocco nell ' impostazione delle variabili ..
Non so ad esempio a che funzione corrisponda $xi(t)$ , sono sicuro che le derivate delle due correnti siano due funzioni diverse , ma non so proprio in che relazione siano queste funzioni ..
Grazie per l' aiuto..
non riesco a capire come svolgere questo sistema di equazioni differenziali :
$ { ( xi(t)-L'(di')/dt-M(di'')/dt=R'i' ),(-L''(di'')/dt-M(di')/dt=R''i'' ):} $
Come avrete capito si tratta di due circuiti accoppiati, con
$xi(t)=$ forza elettromotrice del primo circuito variabile
$L'=$ coefficiente di autoinduzione del primo circuito
$i'$= corrente nel primo circuito
$R'=$ resistenza del primo circuito
$M=$ coefficiente di mutua induzione
e seguono le componenti del secondo circuito..
Ora io so risolvere i sistemi di EDO , ma non so proprio come impostare questo sistema , in pratica mi blocco nell ' impostazione delle variabili ..
Non so ad esempio a che funzione corrisponda $xi(t)$ , sono sicuro che le derivate delle due correnti siano due funzioni diverse , ma non so proprio in che relazione siano queste funzioni ..
Grazie per l' aiuto..
Risposte
Scusami, sono al telefonino.
Perché non provi a risolverlo con la trasforma di Laplace?
Ti ritrovi un sistema di equazioni di primo grado.
Perché non provi a risolverlo con la trasforma di Laplace?
Ti ritrovi un sistema di equazioni di primo grado.
Io non ho fatto la trasformata di Laplace , devo peró studiare le serie e la trasformata di Fourier . Non so se posso farla con i metodi che conosco perché non so come impostare il sistema, che funzioni assegnare alle varie componenti.
Procediamo con ordine e riscriviamo il sistema di equazioni così:
$ { ( xi(t)-L_1(di_1(t))/dt-M(di_2(t))/dt=R_1i_1(t) ),(-L_2(di_2(t))/dt-M(di_1(t))/dt=R_2i_2(t) ):} $
Così facendo, anche chi non è ingegnere, comprende al volo quali sono le costanti e quali sono le variabili (in verità $ xi(t) $ è la forza elettromotrice, $ L $, $ M $ ed $ R $ sono i coefficienti di induttanza, mutua induzione e resistenza. Al secondo membro delle equazioni abbiamo la legge di Ohm ($ V = R \cdot i $) ricordando che le correnti $ i_1 $ ed $ i_2 $ sono anch'esse funzioni del tempo.
A questo punto abbiamo un sistema di due equazioni differenziali del I ordine con due incognite: $ i_1(t) $ e $ i_2(t) $. Tutti gli altri termini sono noti.
$ xi(t) $ è la tensione del generatore. Possiamo scriverla così:
$ xi(t) = V \cdot sin(\omega t) $
Suggerisco questo, e non una tensione costante, perché con una tesione costante non si ha il fenomeno di mutua induzione. Solitamente si utilizza una tensione sinusoidale. Ti anticipo che la corrente sarà in fase sulla resistenza e sfasata in ritardo di 90° sulle induttanze (di conseguenza l'uso di fasori o numeri complessi ti agevola di molto).
Il resto sì, sono EDO.
Ti allego un'orrendo schema fatto con FidoCADJ (vi prego non deridetemi, è la prima volta che lo uso), che dovrebbe spiegarti cosa accade:
[fcd="Circuito"][FIDOCAD]
EV 30 60 40 70 0
EV 35 70 35 70 0
EV 20 60 20 55 0
LI 35 60 35 40 0
LI 35 40 50 40 0
LI 50 40 55 35 0
LI 55 35 60 45 0
LI 60 45 65 35 0
LI 65 35 70 45 0
LI 70 45 75 35 0
LI 75 35 80 45 0
LI 80 45 85 40 0
LI 85 40 100 40 0
LI 100 40 100 50 0
CV 0 100 50 105 55 95 60 95 55 105 60 95 65 95 60 105 65 95 70 95 65 105 70 95 75 95 70 105 75 100 80 0
LI 100 80 100 95 0
LI 100 95 35 95 0
LI 35 95 35 70 0
LI 35 70 35 70 0
CV 0 135 50 130 55 140 60 140 55 130 60 140 65 140 60 130 65 140 70 140 65 130 70 140 75 140 70 130 75 135 80 0
LI 135 50 135 40 0
LI 135 40 150 40 0
LI 150 40 155 35 0
LI 155 35 160 45 0
LI 160 45 165 35 0
LI 165 35 170 45 0
LI 170 45 175 35 0
LI 175 35 180 45 0
LI 180 45 185 35 0
LI 185 35 190 45 0
LI 190 45 195 40 0
LI 195 40 210 40 0
LI 210 40 210 95 0
LI 210 95 135 95 0
LI 135 95 135 80 0
LI 130 80 130 80 0
PA 110 50 5 5 2 0 0
PA 125 50 5 5 2 0 0
TY 112 30 6 6 0 0 0 * M
TY 75 65 6 6 0 0 0 * L1
TY 150 65 6 6 0 0 0 * L2
TY 165 20 6 6 0 0 0 * R2
TY 60 20 6 6 0 0 0 * R1
TY 15 60 6 6 0 0 0 * xi
CV 0 15 50 20 30 45 25 40 25 0
CV 0 200 30 225 35 235 55 0
PV 230 55 240 55 230 55 235 60 240 55 0
PV 45 30 45 20 50 25 0
TY 20 15 6 6 0 0 0 * i1
TY 225 20 6 6 0 0 0 * i2[/fcd]
$ { ( xi(t)-L_1(di_1(t))/dt-M(di_2(t))/dt=R_1i_1(t) ),(-L_2(di_2(t))/dt-M(di_1(t))/dt=R_2i_2(t) ):} $
Così facendo, anche chi non è ingegnere, comprende al volo quali sono le costanti e quali sono le variabili (in verità $ xi(t) $ è la forza elettromotrice, $ L $, $ M $ ed $ R $ sono i coefficienti di induttanza, mutua induzione e resistenza. Al secondo membro delle equazioni abbiamo la legge di Ohm ($ V = R \cdot i $) ricordando che le correnti $ i_1 $ ed $ i_2 $ sono anch'esse funzioni del tempo.
A questo punto abbiamo un sistema di due equazioni differenziali del I ordine con due incognite: $ i_1(t) $ e $ i_2(t) $. Tutti gli altri termini sono noti.
$ xi(t) $ è la tensione del generatore. Possiamo scriverla così:
$ xi(t) = V \cdot sin(\omega t) $
Suggerisco questo, e non una tensione costante, perché con una tesione costante non si ha il fenomeno di mutua induzione. Solitamente si utilizza una tensione sinusoidale. Ti anticipo che la corrente sarà in fase sulla resistenza e sfasata in ritardo di 90° sulle induttanze (di conseguenza l'uso di fasori o numeri complessi ti agevola di molto).
Il resto sì, sono EDO.
Ti allego un'orrendo schema fatto con FidoCADJ (vi prego non deridetemi, è la prima volta che lo uso), che dovrebbe spiegarti cosa accade:
[fcd="Circuito"][FIDOCAD]
EV 30 60 40 70 0
EV 35 70 35 70 0
EV 20 60 20 55 0
LI 35 60 35 40 0
LI 35 40 50 40 0
LI 50 40 55 35 0
LI 55 35 60 45 0
LI 60 45 65 35 0
LI 65 35 70 45 0
LI 70 45 75 35 0
LI 75 35 80 45 0
LI 80 45 85 40 0
LI 85 40 100 40 0
LI 100 40 100 50 0
CV 0 100 50 105 55 95 60 95 55 105 60 95 65 95 60 105 65 95 70 95 65 105 70 95 75 95 70 105 75 100 80 0
LI 100 80 100 95 0
LI 100 95 35 95 0
LI 35 95 35 70 0
LI 35 70 35 70 0
CV 0 135 50 130 55 140 60 140 55 130 60 140 65 140 60 130 65 140 70 140 65 130 70 140 75 140 70 130 75 135 80 0
LI 135 50 135 40 0
LI 135 40 150 40 0
LI 150 40 155 35 0
LI 155 35 160 45 0
LI 160 45 165 35 0
LI 165 35 170 45 0
LI 170 45 175 35 0
LI 175 35 180 45 0
LI 180 45 185 35 0
LI 185 35 190 45 0
LI 190 45 195 40 0
LI 195 40 210 40 0
LI 210 40 210 95 0
LI 210 95 135 95 0
LI 135 95 135 80 0
LI 130 80 130 80 0
PA 110 50 5 5 2 0 0
PA 125 50 5 5 2 0 0
TY 112 30 6 6 0 0 0 * M
TY 75 65 6 6 0 0 0 * L1
TY 150 65 6 6 0 0 0 * L2
TY 165 20 6 6 0 0 0 * R2
TY 60 20 6 6 0 0 0 * R1
TY 15 60 6 6 0 0 0 * xi
CV 0 15 50 20 30 45 25 40 25 0
CV 0 200 30 225 35 235 55 0
PV 230 55 240 55 230 55 235 60 240 55 0
PV 45 30 45 20 50 25 0
TY 20 15 6 6 0 0 0 * i1
TY 225 20 6 6 0 0 0 * i2[/fcd]
Perdonatemi se rispondo a rate, ma lo faccio quando posso.
Non so se questo è un problema di fisica o di elettrotecnica (oppure - perché no - di matematica), fatto sta che io lo risolverei col metodo simbolico.
Così facendo il sistema di EDO si riscrive così:
$ { ( xi(t) - j\omega L_1 i_1 - j\omega M i_2 = R_1 i_1),( - j\omega L_2 i_2 - j\omega M i_1 = R_2 i_2 ):} $
o, meglio ancora:
$ { ( (R_1 + j\omega L_1 )i_1 + j\omega M i_2 = xi(t) ),( j\omega M i_1 + (R_2 + j\omega L_2 )i_2 = 0):} $
che in forma matriciale diventa:
$ ( ( R_1 + j\omega L_1 , j\omega M ),( j\omega M , R_2 + j\omega L_2 ) ) ( ( i_1 ),(i_2) ) = ( ( xi(t) ),(0) ) $
da cui si ottiene immediatamente la soluzione cercata:
$ ( ( i_1 ),(i_2) ) = ( ( R_1 + j\omega L_1 , j\omega M ),( j\omega M , R_2 + j\omega L_2 ) ) ^{-1} ( ( xi(t) ),(0) ) $
Spero sia questa la soluzione che cercavi.
Non so se questo è un problema di fisica o di elettrotecnica (oppure - perché no - di matematica), fatto sta che io lo risolverei col metodo simbolico.
Così facendo il sistema di EDO si riscrive così:
$ { ( xi(t) - j\omega L_1 i_1 - j\omega M i_2 = R_1 i_1),( - j\omega L_2 i_2 - j\omega M i_1 = R_2 i_2 ):} $
o, meglio ancora:
$ { ( (R_1 + j\omega L_1 )i_1 + j\omega M i_2 = xi(t) ),( j\omega M i_1 + (R_2 + j\omega L_2 )i_2 = 0):} $
che in forma matriciale diventa:
$ ( ( R_1 + j\omega L_1 , j\omega M ),( j\omega M , R_2 + j\omega L_2 ) ) ( ( i_1 ),(i_2) ) = ( ( xi(t) ),(0) ) $
da cui si ottiene immediatamente la soluzione cercata:
$ ( ( i_1 ),(i_2) ) = ( ( R_1 + j\omega L_1 , j\omega M ),( j\omega M , R_2 + j\omega L_2 ) ) ^{-1} ( ( xi(t) ),(0) ) $
Spero sia questa la soluzione che cercavi.
Ricontrollerò il risultato in serata , adesso non ho tempo neanche per respirare 
Per adesso GRAZIE , sei stato chiarissimo.
Per adesso GRAZIE , sei stato chiarissimo.
Di nulla,
e buon lavoro.
e buon lavoro.
Ho controllato , sembra tutto giusto ..
Continuando a studiare oggi mi sono accorto che il mio libro ( Mazzoldi ) fa la risoluzione di queste sistema un capitolo dopo ( Correnti alternate ) e come f.e.m variabile ( che sapevo dovesse essere presente almeno in un circuito affinché si generino fenomeni di induzione ) sceglie un caso particolare con legge proprio identica a quella che hai proposto tu , quindi perfetto !
Grazie ancora e Buon Lavoro !
Continuando a studiare oggi mi sono accorto che il mio libro ( Mazzoldi ) fa la risoluzione di queste sistema un capitolo dopo ( Correnti alternate ) e come f.e.m variabile ( che sapevo dovesse essere presente almeno in un circuito affinché si generino fenomeni di induzione ) sceglie un caso particolare con legge proprio identica a quella che hai proposto tu , quindi perfetto !
Grazie ancora e Buon Lavoro !
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo