Equazioni Differenziali a variabili separabili
Dunque, c'è un passaggio che sul mio libro è dato per scontato, ma che in realtà per me non lo è; vi posto di seguito il seguente ragionamento, ditemi cortesemente se è giusto o sbagliato.
Date una Equazione differenziale in forma:
$y'=a(t)b(y)$
se $b(y)=0$ per $y=y^-$ allora $y(t)=y^-$ dal momento che $b(y^-)=0$ quindi $y'=a(t)*0$ e di conseguenza $y'=0$
Dunque $y=int(0)dx$ che mi da come soluzione un valore costante arbitrario.
Di conseguenza ricavo che $y^-$ è integrale generale dell'equazione.
Attendo riscontri. saluti!
Date una Equazione differenziale in forma:
$y'=a(t)b(y)$
se $b(y)=0$ per $y=y^-$ allora $y(t)=y^-$ dal momento che $b(y^-)=0$ quindi $y'=a(t)*0$ e di conseguenza $y'=0$
Dunque $y=int(0)dx$ che mi da come soluzione un valore costante arbitrario.
Di conseguenza ricavo che $y^-$ è integrale generale dell'equazione.
Attendo riscontri. saluti!
Risposte
Sicuro che ci sia scritto 'integrale generale'?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ovviamente no che non c'è scritto! è stata una mia aggiunta inopportuna in quanto è evidente che non lo è. (perfino a me).
E' un ragionamento valido solo per $y^(-) : b(y^-)=0$ .
Ad ogni modo è giusto?
E' un ragionamento valido solo per $y^(-) : b(y^-)=0$ .
Ad ogni modo è giusto?
Diciamo che l'equazione...
$y'=a(t)*b(y)$ (1)
... in cui è $b(y^-)=0$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y^-$ e $t_0$ qualsiasi ha per soluzione...
$y=y^-$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y'=a(t)*b(y)$ (1)
... in cui è $b(y^-)=0$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y^-$ e $t_0$ qualsiasi ha per soluzione...
$y=y^-$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"mrpoint":
Dunque, c'è un passaggio che sul mio libro è dato per scontato, ma che in realtà per me non lo è; vi posto di seguito il seguente ragionamento, ditemi cortesemente se è giusto o sbagliato.
Date una Equazione differenziale in forma:
$y'=a(t)b(y)$
se $b(y)=0$ per $y=y^-$
Se vale quanto detto, è immediato verificare che la funzione costante $y(t)=y^-$ è soluzione del problema dato (volendo essere pignoli, lo è laddove è definita la funzione $t \mapsto a(t)$, ovvero sull'intervallo $I$ su cui si presume sia definita questa funzione).
Infatti la derivata di una costante è 0.
E, a destra, ottieni, sostituendo: $a(t) b(y^-)$, che è uguale a 0 per ogni $t \in I$.
Si può anche provare, se sono soddisfatte le condizioni del classico teorema di esistenza ed unicità, che nessun'altra soluzione della equazione differenziale potrà assumere il valore $y^-$. Questo fatto è importante per la ricerca di tutte le soluzioni di una equazione a variabili separabili. Per i dettagli rinvio alle note che trovi nella pagina:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.htm
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