Equazioni differenziali a coefficienti non costanti
Ciao a tutti,
durante il corso di metodi numerici per l'ingegneria che sto seguendo all'università mi sono imbattuto in un'equazione differenziale del second'ordine completa a coefficienti non tutti costanti ovvero del tipo:
$ A(x)y''+ ky' - B(x)y= h$
Dove:
A è lineare
B è lineare
h, k sono costanti
Nei corsi di analisi non ho mai studiato eqauzioni di questo tipo; per questo vi chiedo esiste un procedimento atto ad integrare quest'equazione e trovare la soluzione esatta(ovviamente a meno delle costanti di integrazione)? Oppure si può solo trovare una soluzione approssimata con metodi numerici, tipo differnze finite o FEM?
Grazie a tutti in anticipo per la collaborazione.
Saluti.
durante il corso di metodi numerici per l'ingegneria che sto seguendo all'università mi sono imbattuto in un'equazione differenziale del second'ordine completa a coefficienti non tutti costanti ovvero del tipo:
$ A(x)y''+ ky' - B(x)y= h$
Dove:
A è lineare
B è lineare
h, k sono costanti
Nei corsi di analisi non ho mai studiato eqauzioni di questo tipo; per questo vi chiedo esiste un procedimento atto ad integrare quest'equazione e trovare la soluzione esatta(ovviamente a meno delle costanti di integrazione)? Oppure si può solo trovare una soluzione approssimata con metodi numerici, tipo differnze finite o FEM?
Grazie a tutti in anticipo per la collaborazione.
Saluti.
Risposte
Nessuno mi può aiutare?
Ciao "mascalzone87",
secondo me quell'equazione differenziale la puoi trattare come un' equazione differenziale lineare completa del secondo ordine...
Infatti $A(x)y''+ky'-B(x)y=h$ la puoi riscrivere come $y''+k/(A(x))y'-(B(x))/(A(x))y=h/(A(x))$, ponendo:
$k/(A(x))=a(x)$, $(-B(x))/(A(x))=b(x)$ e $h/(A(x))=f(x)$ ottieni:
$y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)$ che ha la forma della classica equazione differenziale lineare completa del secondo ordine.
secondo me quell'equazione differenziale la puoi trattare come un' equazione differenziale lineare completa del secondo ordine...
Infatti $A(x)y''+ky'-B(x)y=h$ la puoi riscrivere come $y''+k/(A(x))y'-(B(x))/(A(x))y=h/(A(x))$, ponendo:
$k/(A(x))=a(x)$, $(-B(x))/(A(x))=b(x)$ e $h/(A(x))=f(x)$ ottieni:
$y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)$ che ha la forma della classica equazione differenziale lineare completa del secondo ordine.
In generale non sempre esiste un procedimento di calcolo elementare per determinare esplicitamente le soluzioni di equazioni di questo tipo.
Tuttavia ci sono casi particolari come le equazioni di Eulero, Bernoulli, Clairaut, etc... in cui determinare la soluzione è effettivamente possibile.
Alexp ti ha fatto notare una cosa importante ai fini dell'esistenza di una soluzione: infatti, visto che l'equazione è riconducibile ad una EDO lineare (ciò si può fare ovviamente solo nell'insieme [tex]$X:=\{ x:\ A(x)\neq 0\}$[/tex]) si possono applicare i teoremi di esistenza classici in ogni componente connessa di [tex]$X$[/tex] (Peano, se non hai ipotesi supplementari oltre alla continuità dei coefficienti; oppure Cauchy-Lipschitz-Picard, se riesci a verificare lipschitzianità locale dei coefficienti).
Volendo, nel caso [tex]$h=0$[/tex] (equazione omogenea), ci sarebbe un teorema di Fuchs che ti consente di affermare che ogni integrale della tua equazione (riguardata nel campo complesso) è analitico, ossia si esprime localmente come somma di una serie di potenze.
P.S.: Lineari vuol dire [tex]$A(x)=\alpha x+a$[/tex] e [tex]$B(x)=\beta x+b$[/tex]? In tal caso verificare la lipschitzianità locale dovrebbe esser semplice, quindi sull'esistenza saresti a posto.
Tuttavia ci sono casi particolari come le equazioni di Eulero, Bernoulli, Clairaut, etc... in cui determinare la soluzione è effettivamente possibile.
Alexp ti ha fatto notare una cosa importante ai fini dell'esistenza di una soluzione: infatti, visto che l'equazione è riconducibile ad una EDO lineare (ciò si può fare ovviamente solo nell'insieme [tex]$X:=\{ x:\ A(x)\neq 0\}$[/tex]) si possono applicare i teoremi di esistenza classici in ogni componente connessa di [tex]$X$[/tex] (Peano, se non hai ipotesi supplementari oltre alla continuità dei coefficienti; oppure Cauchy-Lipschitz-Picard, se riesci a verificare lipschitzianità locale dei coefficienti).
Volendo, nel caso [tex]$h=0$[/tex] (equazione omogenea), ci sarebbe un teorema di Fuchs che ti consente di affermare che ogni integrale della tua equazione (riguardata nel campo complesso) è analitico, ossia si esprime localmente come somma di una serie di potenze.
P.S.: Lineari vuol dire [tex]$A(x)=\alpha x+a$[/tex] e [tex]$B(x)=\beta x+b$[/tex]? In tal caso verificare la lipschitzianità locale dovrebbe esser semplice, quindi sull'esistenza saresti a posto.
Innanzitutto vi ringrazio per gli interventi.
L'equazione l'ho risolta con il metodo delle differenze finite senza troppi problemi. Ma mi resta ancora lo "sfizio" di capire se posso trovare la soluzione esatta. Ho seguito le vostre indicazioni e mi sono documentato a riguardo: guingendo alle seguenti conclusioni:
-esiste la soluzione $y(x)$
-il primo teorema di Fuchs dovrebbe permettermi di trovare una soluzione ma questa sarebbe comunque una approssimata, tanto vale fare con le differenze finite.
Però penso proprio che non esite il procedimento per trovare la soluzione esatta perchè non è riconducibile ad equazioni particolare(Eulero,etc) o almeno io non ne sono stato capace ed altrimenti non saprei come procedere.
Se vi viene in mente qualche altra cosa sarei molto lieto di ascoltarla.
P.S Cmq per lineari intendevo proprio quello.
Grazie mille per l'aiuto.
L'equazione l'ho risolta con il metodo delle differenze finite senza troppi problemi. Ma mi resta ancora lo "sfizio" di capire se posso trovare la soluzione esatta. Ho seguito le vostre indicazioni e mi sono documentato a riguardo: guingendo alle seguenti conclusioni:
-esiste la soluzione $y(x)$
-il primo teorema di Fuchs dovrebbe permettermi di trovare una soluzione ma questa sarebbe comunque una approssimata, tanto vale fare con le differenze finite.
Però penso proprio che non esite il procedimento per trovare la soluzione esatta perchè non è riconducibile ad equazioni particolare(Eulero,etc) o almeno io non ne sono stato capace ed altrimenti non saprei come procedere.
Se vi viene in mente qualche altra cosa sarei molto lieto di ascoltarla.
P.S Cmq per lineari intendevo proprio quello.
Grazie mille per l'aiuto.
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