Equazioni differenziali
Svolgendo questa equazione differenziale mi sono bloccata ad un certo punto:
$\{ (yy''+( y')^2=(y')^3), (y(0)=1) , (y'(0)=1 ):}$
Procedo ponendo $ z(y)= y'$ e sostituendo nella equazione ottengo:
$\{ (z'=(z(z-1)) / y), (z(1)=1):}$
che è a variabili separabili allora pongo:
$int 1/(z(z-1)) = int 1/y \quad \Rightarrow \quad -ln|z|+ ln|z-1|= ln|y| +c$.
Devo imporre ora le condizioni di cauchy ma quando mi trovo a doverle sostituire mi blocco perchè otterrei $ln|z-1|= ln(0)$ !
$\{ (yy''+( y')^2=(y')^3), (y(0)=1) , (y'(0)=1 ):}$
Procedo ponendo $ z(y)= y'$ e sostituendo nella equazione ottengo:
$\{ (z'=(z(z-1)) / y), (z(1)=1):}$
che è a variabili separabili allora pongo:
$int 1/(z(z-1)) = int 1/y \quad \Rightarrow \quad -ln|z|+ ln|z-1|= ln|y| +c$.
Devo imporre ora le condizioni di cauchy ma quando mi trovo a doverle sostituire mi blocco perchè otterrei $ln|z-1|= ln(0)$ !
Risposte
Il PdC per $z$ ha come soluzione la soluzione costante $z=1$.
da cosa lo deduco?
Ottima la deduzione $z =1$.
Lo deduci perchè $y'=1$ in un certo punto (lo zero).
quindi deve essere $yy''=0$. Nello stesso punto vale $y=1$, quindi deve essere $y''=0$.
Quindi $y$ deve essere una retta, quindi $y=x+1$.
Questo mi sta bene fino a un certo punto perchè, la y è sicuramente una retta per $x>0$, però per $x<0$ quando abbiamo $y=0$ in $x=-1$, allora il ragionamento non vale più e la funzione non è più determinata dal nostro semplice ragionamento.
Per trovare la soluzione completa ho individuato un procedimento di cui non sono per niente sicuro, però lo scrivo casomai qualcuno volesse guardarlo.
Si inzia col notare che:
$(y\ y')' = y\ y''+ (y')^2$
quindi riscriviamo l'equazione di partenza come
$(y\ y')' = (y')^3$
Ora, se sostituisco $z=y\ y'$ abbiamo:
$z'=(z/y)^3$
cioè
$(z')/(z^3)=1/(y^3)$
Non riesco a capire se va bene l'equazione sopra .... se va bene si può continuare e si arriva ad una soluzione (implicita) per
$y=f(x)$.
Cioè intendo se la sua soluzione è $z=(\pm y)/(\sqrt(1+y^2c))$....
Continuando si arriva infine a questa "semplice" espressione implicita per $y=f(x)$
$y/2 \sqrt(1+y^2c_1)+1/(2\sqrt(c_1))"settsinh"(y\sqrtc_1)=\pm x +c_2$
Lo deduci perchè $y'=1$ in un certo punto (lo zero).
quindi deve essere $yy''=0$. Nello stesso punto vale $y=1$, quindi deve essere $y''=0$.
Quindi $y$ deve essere una retta, quindi $y=x+1$.
Questo mi sta bene fino a un certo punto perchè, la y è sicuramente una retta per $x>0$, però per $x<0$ quando abbiamo $y=0$ in $x=-1$, allora il ragionamento non vale più e la funzione non è più determinata dal nostro semplice ragionamento.
Per trovare la soluzione completa ho individuato un procedimento di cui non sono per niente sicuro, però lo scrivo casomai qualcuno volesse guardarlo.
Si inzia col notare che:
$(y\ y')' = y\ y''+ (y')^2$
quindi riscriviamo l'equazione di partenza come
$(y\ y')' = (y')^3$
Ora, se sostituisco $z=y\ y'$ abbiamo:
$z'=(z/y)^3$
cioè
$(z')/(z^3)=1/(y^3)$
Non riesco a capire se va bene l'equazione sopra .... se va bene si può continuare e si arriva ad una soluzione (implicita) per
$y=f(x)$.
Cioè intendo se la sua soluzione è $z=(\pm y)/(\sqrt(1+y^2c))$....
Continuando si arriva infine a questa "semplice" espressione implicita per $y=f(x)$
$y/2 \sqrt(1+y^2c_1)+1/(2\sqrt(c_1))"settsinh"(y\sqrtc_1)=\pm x +c_2$
ma c'entra qualcosa con il fatto che mi ritrovo $ln|z-1|=ln|0| $ ?
Si però c'è un errorino.
Quella corretta è:
$\{ (z'=(z^2(z-1)) / y), (z(1)=1):}$
Dopo devi integrare ancora perchè $z=y'$ e non ci si riesce quindi non ci si arriva alla soluzione esplicita.
Quella corretta è:
$\{ (z'=(z^2(z-1)) / y), (z(1)=1):}$
Dopo devi integrare ancora perchè $z=y'$ e non ci si riesce quindi non ci si arriva alla soluzione esplicita.
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