Equazioni differenziali
Ciao a tutti..dovrei svolgere questo esercizio:
Date due equazioni scalari $y'=g(y)$ , $y'=h(y)$ con $g(y)0$ provare che se $x \to \beta(x)$ è definita in $RR$ (con $\beta(x)$ soluzione del problema di Cauchy $\{(y'=h(y)), (y(0)=a):}$ allora anche $x\to\alpha(x)$ è definita in $RR$ (con $\alpha(x)$ soluzione del problema di Cauchy $\{(y'=g(y)),( y(0)=a):}$).
Qualcuno mi può aiutare..??Grazie mille!!
Date due equazioni scalari $y'=g(y)$ , $y'=h(y)$ con $g(y)
Qualcuno mi può aiutare..??Grazie mille!!
Risposte
Visto che $g$ e $h$ sono funzioni positive, sia $\alpha$ che $\beta$ sono monotone crescenti.
Dimostriamo che l'intervallo massimale di definizione $I$ di $\alpha$ contiene $[0,+\infty)$ (poi si procederà analogamente per l'altra semiretta).
Poiché $\alpha$ è monotona crescente, questo equivale a dire che $\alpha$ non esplode in nessun punto $t_0>0$, vale a dire
$\lim_{t\to t_0-} \alpha(t) < +\infty$ per ogni $t_0 > 0$.
In particolare, questo è sicuramente vero se dimostriamo che $\alpha(t) < \beta(t)$ per ogni $t>0$.
Supponiamo per assurdo che ciò non sia vero; in tal caso l'insieme
$A := \{t>0: \alpha(t) \ge \beta(t)\}$
sarà non vuoto.
Sia $t_0 := "inf" A$; poiché $0$ è un minorante di $A$ avremo che $t_0\ge 0$.
D'altra parte $t_0 > 0$: infatti sappiamo che $\alpha(0) = \beta(0) = a$, ed inoltre
$\alpha'(0) = g(a) < h(a) = \beta'(0)$,
quindi (per definizione di derivata e per il teorema di permanenza del segno) sai che $\alpha(t) < \beta(t)$ per $t>0$ sufficientemente piccolo.
Adesso dovresti avere gli elementi per ottenere l'assurdo:
hai trovato un punto $t_0>0$ tale che $\alpha(t_0) = \beta(t_0)$ e $\alpha(t) < \beta(t)$ per $t\in (0, t_0)$...
Dimostriamo che l'intervallo massimale di definizione $I$ di $\alpha$ contiene $[0,+\infty)$ (poi si procederà analogamente per l'altra semiretta).
Poiché $\alpha$ è monotona crescente, questo equivale a dire che $\alpha$ non esplode in nessun punto $t_0>0$, vale a dire
$\lim_{t\to t_0-} \alpha(t) < +\infty$ per ogni $t_0 > 0$.
In particolare, questo è sicuramente vero se dimostriamo che $\alpha(t) < \beta(t)$ per ogni $t>0$.
Supponiamo per assurdo che ciò non sia vero; in tal caso l'insieme
$A := \{t>0: \alpha(t) \ge \beta(t)\}$
sarà non vuoto.
Sia $t_0 := "inf" A$; poiché $0$ è un minorante di $A$ avremo che $t_0\ge 0$.
D'altra parte $t_0 > 0$: infatti sappiamo che $\alpha(0) = \beta(0) = a$, ed inoltre
$\alpha'(0) = g(a) < h(a) = \beta'(0)$,
quindi (per definizione di derivata e per il teorema di permanenza del segno) sai che $\alpha(t) < \beta(t)$ per $t>0$ sufficientemente piccolo.
Adesso dovresti avere gli elementi per ottenere l'assurdo:
hai trovato un punto $t_0>0$ tale che $\alpha(t_0) = \beta(t_0)$ e $\alpha(t) < \beta(t)$ per $t\in (0, t_0)$...
Cioè è assurdo che $α(t0)=β(t0)$ altrimenti vorrebbe dire che le soluzioni dei due problemi di Cauchy, oltre alla condizione iniziale, hanno un altro punto in cui coincidono. Quindi $A$ è un insieme vuoto.
E' giusto arrivare all'assurdo in questo modo?
Comunque grazie mille per la risposta.
E' giusto arrivare all'assurdo in questo modo?
Comunque grazie mille per la risposta.
E' giusto solo se $g$ e $h$ garantiscono l'unicità delle soluzione dei problemi di Cauchy (ad esempio, se sono Lipschitziane).
Il risultato vale però anche se $g$ e $h$ sono solo continue.
Prova a vedere cosa succede ad $\alpha'(t_0)$ e $\beta'(t_0)$ nella situazione proposta.
Il risultato vale però anche se $g$ e $h$ sono solo continue.
Prova a vedere cosa succede ad $\alpha'(t_0)$ e $\beta'(t_0)$ nella situazione proposta.
Risultano uguali, e quindi dovrebbero essere uguali anche $g(y(t0))$ e $h(y(t0))$ ..?
Poiché $\alpha(t_0) = \beta(t_0) = y_1$ e $\alpha(t) < \beta(t)$ per $t\in (0, t_0)$, avrai che $\alpha'(t_0) \ge \beta'(t_0)$.
D'altra parte, sai anche che $\alpha'(t_0) = g(y_1) < h(y_1) = \beta'(t_0)$, da cui l'assurdo.
D'altra parte, sai anche che $\alpha'(t_0) = g(y_1) < h(y_1) = \beta'(t_0)$, da cui l'assurdo.
Ok ora ho capito. Grazie!
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