Equazioni differenziali
Ho queste due equazioni differenziali:$\{(y^(I)(x)=-y(x)-8e^(7x)),(y(0)=-1):}$ e $ddot x(t)-9x(t)=sin(3t)$
Per quanto riguarda la prima penso di averla risolta anche se ho qualche dubbio sui passaggi,
essendo una equazione differenziale lineare della forma $y^(I)(x)=a(x)y(x)+b(x)$ quindi posso utilizzare la formula risolutiva $y(x)=e^(A(x))*c+e^(A(x))\int e^(-A(x))*b(x)dx$ quindi essendo $a(x)=-1$ una sua primitiva sarà $A(x)=-x$ quindi $y(x)=e^(-x)*c+e^(-x)\int e^(x)*(-8e^(7x))dx$ da cui $y(x)=e^(-x)*c-e^(-x)e^(8x)$ , $y(x)=e^(-x)*c-e^(7x)$ poi calcolo $y(0)=-1$ e ottengo $c=0$
Per la seconda equazione devo calcolare la soluzione dell'equazione omogenea quindi trovo $\lambda^2=9$ e quindi ottengo le due soluzioni $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=-3$ quindi $x(t)=c_1e^(3t)+c_2e^(-3t)$ poi però non ho capito cosa va fatto per trovare la soluzione particolare, qualcuno può spiegarmelo in modo semplice e chiaro?
Per quanto riguarda la prima penso di averla risolta anche se ho qualche dubbio sui passaggi,
essendo una equazione differenziale lineare della forma $y^(I)(x)=a(x)y(x)+b(x)$ quindi posso utilizzare la formula risolutiva $y(x)=e^(A(x))*c+e^(A(x))\int e^(-A(x))*b(x)dx$ quindi essendo $a(x)=-1$ una sua primitiva sarà $A(x)=-x$ quindi $y(x)=e^(-x)*c+e^(-x)\int e^(x)*(-8e^(7x))dx$ da cui $y(x)=e^(-x)*c-e^(-x)e^(8x)$ , $y(x)=e^(-x)*c-e^(7x)$ poi calcolo $y(0)=-1$ e ottengo $c=0$
Per la seconda equazione devo calcolare la soluzione dell'equazione omogenea quindi trovo $\lambda^2=9$ e quindi ottengo le due soluzioni $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=-3$ quindi $x(t)=c_1e^(3t)+c_2e^(-3t)$ poi però non ho capito cosa va fatto per trovare la soluzione particolare, qualcuno può spiegarmelo in modo semplice e chiaro?
Risposte
"orphen86":
Ho queste due equazioni differenziali:$\{(y^(I)(x)=-y(x)-8e^(7x)),(y(0)=-1):}$ e $ddot x(t)-9x(t)=sin(3t)$
Per quanto riguarda la prima penso di averla risolta anche se ho qualche dubbio sui passaggi,
essendo una equazione differenziale lineare della forma $y^(I)(x)=a(x)y(x)+b(x)$ quindi posso utilizzare la formula risolutiva $y(x)=e^(A(x))*c+e^(A(x))\int e^(-A(x))*b(x)dx$ quindi essendo $a(x)=-1$ una sua primitiva sarà $A(x)=-x$ quindi $y(x)=e^(-x)*c+e^(-x)\int e^(x)*(-8e^(7x))dx$ da cui $y(x)=e^(-x)*c-e^(-x)e^(8x)$ , $y(x)=e^(-x)*c-e^(7x)$ poi calcolo $y(0)=-1$ e ottengo $c=0$
Per la seconda equazione devo calcolare la soluzione dell'equazione omogenea quindi trovo $\lambda^2=9$ e quindi ottengo le due soluzioni $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=-3$ quindi $x(t)=c_1e^(3t)+c_2e^(-3t)$ poi però non ho capito cosa va fatto per trovare la soluzione particolare, qualcuno può spiegarmelo in modo semplice e chiaro?
L'omogenea nell'equazione due la puoi scrivere in forma trigonometrica, cioè $x(t)=C*cos(3*t)+D*sin(3*t)$ (ovviamente questa forma la trovi sapendo che $e^(ix)=cos(x)+isin(x)$).
Ora: visto che l'inomogenità è $sin(3*t)$ cerchi una soluzione particolare della forma $x(t)=x*(A*cos(3x)+B*sin(3x))$
Ciao.
"orphen86":
$ddot x(t)-9x(t)=sin(3t)$
Per la seconda equazione devo calcolare la soluzione dell'equazione omogenea quindi trovo $\lambda^2=9$ e quindi ottengo le due soluzioni $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=-3$ quindi $x(t)=c_1e^(3t)+c_2e^(-3t)$ poi però non ho capito cosa va fatto per trovare la soluzione particolare, qualcuno può spiegarmelo in modo semplice e chiaro?
Chi sei, il cugino di leffy13?
Buona lettura:
https://www.matematicamente.it/forum/equ ... 31419.html
non è mio cugino, però potrebbe essere un mio collega. esercizi di gramtchev
Naturalmente era una battuta. Una "comunanza di sede" era in effetti la cosa più plausibile, a parte che si tratta comunque di un esercizio molto comune.
Magari "tuo cugino" potrebbe continuare il tuo thread.
Magari "tuo cugino" potrebbe continuare il tuo thread.
ops, quanti colleghi che trovo XD
Scusate per la domanda sul secondo esercizio, non ho pensato a dare un'occhiata agli altri thread. Comunque ora è tutto chiaro, era una cavolata =| , nel libro che stavo usando c'era un errore e quindi non capivo. Inoltre mi stavo intestardendo sul metodo di Lagrange che mi dava integrali impossibili. Piuttosto, per quanto riguarda il primo esercizio, il procedimento è quello giusto?
Scusate per la domanda sul secondo esercizio, non ho pensato a dare un'occhiata agli altri thread. Comunque ora è tutto chiaro, era una cavolata =| , nel libro che stavo usando c'era un errore e quindi non capivo. Inoltre mi stavo intestardendo sul metodo di Lagrange che mi dava integrali impossibili. Piuttosto, per quanto riguarda il primo esercizio, il procedimento è quello giusto?
come direbbe il mio professore, per completezza vi espongo i risultati della seconda equazione, così se ci sono errori potete avvisarmi prima XD :
per semplicità pongo $ddot x(t)=y^(II)(x)$ in maniera da lavorare con $y^(II)(x)-9y(x)=sin(3x)$
Abbiamo detto che la soluzione dell'equazione omogenea sonovo $λ^2=9$ e quindi $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=-3$ quindi $y(x)=c_1e^(3x)+c_2e(-3x)$ essendo $f(x)=sin(3x)$ posso affermare che $P(x)=1$,$h=0$ e $k=3$ infatti nella forma generale sarebbe $f(x)=P(x)e^(hx)sin(kx)$
a questo punto verifico se l'espressione $h+ik$ è radice dell'equazione caratteristica cioè se $3i$ è uguale a $\lambda_1$ o $\lambda_2$ essendo false entrambe queste due ugualianze cerco l'integrale particolare che abbia la forma $\phi(x)=e^(hx)[P_1(x)sin(kx)+P_2(x)cos(kx)]$ (notare che le due forme che si usano sono le stesse, la differenza sta nel valore di $r$ infatti $\phi(x)=x^re^(hx)[P_1(x)sin(kx)+P_2(x)cos(kx)]$ dove $r$ è la molteplicità, essendo $0$ [$h+ik$ non è radice] in questo caso si riduce a quella usata)
quindi sostituendo i vari valori ottengo $\phi(x)=Asin(3x)+Bcos(3x)$ dove $A,B$ sono due costanti in questo caso, perchè il grado del polinomio $P(x)$ è $0$ quindi $P_1(x)$ e $P_2(x)$ devono avere grado $<0$
Ottenuto $\fi(x)$ applico la sostituzione $\phi(x)=y(x)$ e sostituisco nell'equazione iniziale, quindi calcolando derivata prima e poi la derivata seconda ottengo che $\phi^(II)(x)=-9A sin3x-9B cos3x$ applicando la sostituzione ottengo
$-9Asin3x-9Bcos3x-9\Asin3x-9Bcos3x=sin3x$ risolvendo questa equazione in $A,B$ ottengo $A=-1/18$ e $B=0$ che sotituiti $\phi(x)=-1/18sin3x$ quindi ho trovato l'integrale particolare da sommare alla soluzione dell'equazione omogenea e ottengo $y=c_1e^(3x)+c_2e^(-3x)-1/18sin3x$ ricordando le sostituzioni iniziali questa è uguale a $x=c_1e^(3t)+c_2e^(-3t)-1/18sin3t$
per semplicità pongo $ddot x(t)=y^(II)(x)$ in maniera da lavorare con $y^(II)(x)-9y(x)=sin(3x)$
Abbiamo detto che la soluzione dell'equazione omogenea sonovo $λ^2=9$ e quindi $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=-3$ quindi $y(x)=c_1e^(3x)+c_2e(-3x)$ essendo $f(x)=sin(3x)$ posso affermare che $P(x)=1$,$h=0$ e $k=3$ infatti nella forma generale sarebbe $f(x)=P(x)e^(hx)sin(kx)$
a questo punto verifico se l'espressione $h+ik$ è radice dell'equazione caratteristica cioè se $3i$ è uguale a $\lambda_1$ o $\lambda_2$ essendo false entrambe queste due ugualianze cerco l'integrale particolare che abbia la forma $\phi(x)=e^(hx)[P_1(x)sin(kx)+P_2(x)cos(kx)]$ (notare che le due forme che si usano sono le stesse, la differenza sta nel valore di $r$ infatti $\phi(x)=x^re^(hx)[P_1(x)sin(kx)+P_2(x)cos(kx)]$ dove $r$ è la molteplicità, essendo $0$ [$h+ik$ non è radice] in questo caso si riduce a quella usata)
quindi sostituendo i vari valori ottengo $\phi(x)=Asin(3x)+Bcos(3x)$ dove $A,B$ sono due costanti in questo caso, perchè il grado del polinomio $P(x)$ è $0$ quindi $P_1(x)$ e $P_2(x)$ devono avere grado $<0$
Ottenuto $\fi(x)$ applico la sostituzione $\phi(x)=y(x)$ e sostituisco nell'equazione iniziale, quindi calcolando derivata prima e poi la derivata seconda ottengo che $\phi^(II)(x)=-9A sin3x-9B cos3x$ applicando la sostituzione ottengo
$-9Asin3x-9Bcos3x-9\Asin3x-9Bcos3x=sin3x$ risolvendo questa equazione in $A,B$ ottengo $A=-1/18$ e $B=0$ che sotituiti $\phi(x)=-1/18sin3x$ quindi ho trovato l'integrale particolare da sommare alla soluzione dell'equazione omogenea e ottengo $y=c_1e^(3x)+c_2e^(-3x)-1/18sin3x$ ricordando le sostituzioni iniziali questa è uguale a $x=c_1e^(3t)+c_2e^(-3t)-1/18sin3t$
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