Equazioni differenziali

[JanickGers]

Ciao a tutti,
premetto che sono un pò arrugginito sulle equazioni differenziali non lineari, quindi ho non poche difficoltà.
Allora, ho due equazioni differenziali:

y''+α(y')^2+g=0
y''+α(y')^2=0

Così messe non mi fanno intravedere una soluzione, avevo pensato questo

z=y'

quindi

z'+αz^2+g=0
z'+αz^2=0

Quindi la seconda sembrerebbe in forma di Bernoulli, mentre la prima ha quel termine costante che mi infastidisce ( anche se non riesco a risolvere comunque la seconda ), come posso trovare la soluzione completa di entrambe le equazioni?
Pensavo che una volta trovata potevo derivarla per poter trovare la soluzione completa associata a y
Grazie mille e scusate se la domanda è cretina!

[alberto861]

la seconda è di bernoulli e quindi a quanto ho capito la sai risolvere..ora la seconda è anche l'omogenea associata alla prima e quindi puoi utilizzare il principio di variazione delle costanti per trovare la soluzione..

[ViciousGoblin]

Non ricordo bene cos'è l'equazione di Bernoulli. Però se la forma è
$y''+a(y')+g=0$
con $a$ funzione, allora l'equazione non è lineare e quindi non ha senso parlare di omogenea e di variazione delle costanti
(a meno che non ci sia una qualche formula generalizzata).
Se io dovessi risolvere l'equazione sopra in effetti porrei $z=y'$ trovando
$z'=-a(z)-g$
che sono in grado di risolvere se $g$ è una costante indipendente da $x$, dato che in questo caso
l'equazione è a variabili separabili :
${z'}/(a(z)+g)=-1$ da cui integrando $\int_{z_0}^{z(t)}\frac{ds}{a(s)+g}=-(t-t_0)$ ...

[alberto861]

scusa pensavo fosse una costante

[JanickGers]

Scusate mi sono dimenticato di dire che sia α che g sono delle costanti.
Quindi vale il discorso fatto da alberto86