Equazioni differenziali

[parallel1]

Sto provando a risolvere queste equazioni differenziali, ma quando poi valuto le condizioni iniziali proposte dalla seconda parte dell'esercizio il problema di Cauchy diventa impossibile. Mi date una mano ?


ESERCIZIO 1

Da l'equazione differenziale

$ y^(II) - 4y^(I) +4y = (8x^2+20x+8)e^(4x) $

si chidede:

la soluzione dell'omogenea associata;

la soluzione particolare di essa;

la soluzione del problema di Cauchy relativo alle condizioni iniziali $ y(0) = 0 ; y^(I)(0)=0$



ESERCIZIO 2

Da l'equazione differenziale

$ y^(II) - 6y^(I) +9y = 0 $

si chidede:

la soluzione dell'equazione differenziale;

la soluzione del problema di Cauchy relativo alle condizioni iniziali $ y(0) = 6 ; y(x) $ ha un punto stazionario in 0



Grazie

[cavallipurosangue]

Il secondo mi sembra semplice, la soluzione generale è : $y(x)=c_1e^(3x)+c_2xe^(3x)$
Imponendo le condizioni iniziali:
$y(0)=6=>c_1=6, y'(0)=0=>3c_1+c_2=0=>c_2=-18$
quindi.
$y(x)=3(1-3x)e^(3x)$

[_nicola de rosa]

1)
OMOGENEA ASSOCIATA: yo=C_1*e^(2x)+C_2*x*e^(2x)
SOLUZIONE PARTICOLARE: è del tipo yp=(ax^2+bx+c)*e^(4x)
Facendo i calcoli e sostituendo troverai yp=(x+2*x^2)*e^(4x)
Quindi ytot=C_1*e^(2x)+C_2*x*e^(2x)+(x+2*x^2)*e^(4x)
problema di cauchy:
y(0)=0->C_1=0
y'(0)=0->C_2=-1
per cui ytot=x*e^(2x)*[-1+e^(2x)+2x*e^(2x)]