Equazioni differenziali

[gicif]

[size=150]Ciao a tutti.
Per cortesia, mi aiutate a risolvere queste equazioni differenziali?

1) y'''' = SQRT(y''')
2) (1-x^2)y'' - xy' = 2
3) (y')^2 + yy' - x(x+y) = 0

Vi ringrazio fin d'ora per il supporto.
Ciao
Giuseppe[/size]

[Sk_Anonymous]

1)
Poniamo
y'''=z e derivando rispetto ad x: y''''=dz/dx.Pertanto l'equazione data diventa:
dz/dx=sqrt(z) da cui integrando rispetto ad x:
2sqrt(z)=x+Co ,ovvero :
z=[(x+Co)/2]^2 ,cioe':
y'''=[(x+Co)/2]^2 ed integrando 3 volte sempre rispetto ad x risulta:
y=2/15*[(x+Co)/2]^5+C1*x^2/2+C2*x+C3.
Per le altre adesso vedo....

[Sk_Anonymous]

3)
L'equazione si puo' scomporre cosi':
y'^2-x^2+yy'-xy=0
(y'-x)(y'+x)+y(y'-x)=0--->(y'-x)(y'+x+y)=0 che si spezza in due equazioni:
a) y'-x=0---->y'=x--->y=x^2/2+Co [primo integrale]
b) y'+y=-x che e' una ordinaria equazione diff. del primo ordine
ed il cui integrale generale per note formule e':
y=C1*e^(-x)-x+1 [secondo integrale]
Archie (volgare e non so quanto valida traduzione del mio nick!! )

[Sk_Anonymous]

2)
posto z=y' ,si ha ,derivando rispetto ad x, z'=y'' e quindi la nostra equazione diventa:
(1-x^2)z'-xz=2 ovvero z'+[-x/(1-x^2)]z=2/(1-x^2)
Questa equazione e' del primo ordine e,sempre per note formule,dopo calcoli
un po' lunghi ma facili,si ottiene:
z=Co/sqrt(1-x^2)+2arcsinx/sqrt(1-x^2) ---->y'=Co/sqrt(1-x^2)+2arcsinx/sqrt(1-x^2) e da qui integrando ancora:
y=Co*arcsinx+(arcsinx)^2+C1
che e' l'integrale generale cercato.
Archie.

[gicif]

Ciao Archimede, ti ringrazio molto per l'aiuto e la disponibilità.
Giuseppe