EQUAZIONI DIFFERENZIALI
qualcuno saprebbe dirmi come si svolge quest' equazione e qual' è la regola generale da usare per equazioni di questo tipo?
y''-2y'-3y=(2x+1)e^x
y''-2y'-3y=(2x+1)e^x
Risposte
Allora è una eq differenziale del secondo ordine non omogenea,praticamente in linea generale devi risolvere l'equazione associata di secondo grado (nel tuo caso è y^2 - 2y - 3) e vedere che soluzioni trovi, poi passi alla non omogenea e trovare le soluzioni particolari che alla fine aggiungi a quella della non omogenea.
per la risoluzione della non omogenea ci sono due metodi : quello della somiglianza e quello dela variazione delle costanti.
..senza perdermi troppo in ciance,adesso se ho tempo provo a vedere se riesco a fare la tua..(non ti assicuro nulla,eh!)
intanto ti consiglio di guardare :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... namento=55
scarica la dispensa "eqdiff" e vai a pagina 6,ci sono degli esempi per come trattare la parte non omogenea (tra cui un esempio con un esponenziale simile al tuo)
la dispensa è veramente chiara...figuarati ho capito anche io!;)
Ciao.
Marvin
per la risoluzione della non omogenea ci sono due metodi : quello della somiglianza e quello dela variazione delle costanti.
..senza perdermi troppo in ciance,adesso se ho tempo provo a vedere se riesco a fare la tua..(non ti assicuro nulla,eh!)
intanto ti consiglio di guardare :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... namento=55
scarica la dispensa "eqdiff" e vai a pagina 6,ci sono degli esempi per come trattare la parte non omogenea (tra cui un esempio con un esponenziale simile al tuo)
la dispensa è veramente chiara...figuarati ho capito anche io!;)
Ciao.
Marvin
allora..a me la soluzione dell'omogenea viene (x-2)e^x
non sono sicuro del risultato quindi ti conviene controllare..
la soluzione generale non l'ho fatta perchè è una eq di secondo grado,ma se vuoi posso vedere anche quella..
prima però vorrei sperare di aver fatto la omegenea giusta..fammi sapere..
MArvin
non sono sicuro del risultato quindi ti conviene controllare..
la soluzione generale non l'ho fatta perchè è una eq di secondo grado,ma se vuoi posso vedere anche quella..
prima però vorrei sperare di aver fatto la omegenea giusta..fammi sapere..
MArvin
Una funzione f(x) è soluzione dell'equazione differenziale:
a_0*y+a_1*y'+...a_n*y^(n) = 0 (1)
se e solo se è del tipo:
f(x)=P_1(x)*e^(b_1*x)+...+P_r(x)*e^(b_r*x) , dove
b_1...b_r sono tutte e sole le radici complesse distinte del polinomio:
a0+a1*x+...a_n*x^n (2)
e P_1(x)...P_r(x) sono dei polinomi complessi tali che:
deg(P_k(x)) < molteplicità algebrica di b_k come radice di (2).
Sia g(x) una funzione. f(x) è soluzione dell'equazione differenziale:
a_0*y+a_1*y'+...a_n*y^(n) = g(x) (3)
se e solo se è del tipo:
f(x) = f0(x) + h(x)
dove f0(x) è una qualsiasi soluzione di (3), e h(x) è una soluzione dell'equazione omogenea associata (1).
Se consideriamo l'equazione:
y''-2y'-3y=(2x+1)e^x
si trova (o almeno ho trovato io) che l'insieme delle soluzioni dell'equazione associata è l'insieme delle funzioni del tipo:
c_1*e^(-x)+c_2*e^(3*x)
al variare di c_1, c_2 nei complessi; una soluzione dell'equazione data è: f(x)=(-x/2-1/4)*e^x.
Woody
a_0*y+a_1*y'+...a_n*y^(n) = 0 (1)
se e solo se è del tipo:
f(x)=P_1(x)*e^(b_1*x)+...+P_r(x)*e^(b_r*x) , dove
b_1...b_r sono tutte e sole le radici complesse distinte del polinomio:
a0+a1*x+...a_n*x^n (2)
e P_1(x)...P_r(x) sono dei polinomi complessi tali che:
deg(P_k(x)) < molteplicità algebrica di b_k come radice di (2).
Sia g(x) una funzione. f(x) è soluzione dell'equazione differenziale:
a_0*y+a_1*y'+...a_n*y^(n) = g(x) (3)
se e solo se è del tipo:
f(x) = f0(x) + h(x)
dove f0(x) è una qualsiasi soluzione di (3), e h(x) è una soluzione dell'equazione omogenea associata (1).
Se consideriamo l'equazione:
y''-2y'-3y=(2x+1)e^x
si trova (o almeno ho trovato io) che l'insieme delle soluzioni dell'equazione associata è l'insieme delle funzioni del tipo:
c_1*e^(-x)+c_2*e^(3*x)
al variare di c_1, c_2 nei complessi; una soluzione dell'equazione data è: f(x)=(-x/2-1/4)*e^x.
Woody
woody io per la non omogenea ho considerato il gen polinomio
(Ax+B)e^x
considerando la sua derivata prima e seconda e ponendo tutto uguale a (2x+1)e^x
trovando i valori di A,B che mi rendevano l'uguaglianza..
forse ho sbagliato algebricamente..
ora riguardo..
(oppure se mi consigli una forma di somiglianza migliore...)
(Ax+B)e^x
considerando la sua derivata prima e seconda e ponendo tutto uguale a (2x+1)e^x
trovando i valori di A,B che mi rendevano l'uguaglianza..
forse ho sbagliato algebricamente..
ora riguardo..
(oppure se mi consigli una forma di somiglianza migliore...)
perchè leggendo non ho proprio capito come hai fatto tu...
La soluzione completa di Woody è corretta e la riporto :
y(x) =C1*e^3x + C2*e^(-x)-(x/2 +1/4)*e^x .
Marvin hai sbagliato dove dici :"ora pongo l'uguaglianza...."
[credo che hai posto:(2x+1)e^x = y' + y'' (??)]
devi sostituire nell'equazione iniziale y''-2y'-3y=(2x+1)*e^x
le espressioni appena calcolate da te di y'', y' , y .
Camillo
y(x) =C1*e^3x + C2*e^(-x)-(x/2 +1/4)*e^x .
Marvin hai sbagliato dove dici :"ora pongo l'uguaglianza...."
[credo che hai posto:(2x+1)e^x = y' + y'' (??)]
devi sostituire nell'equazione iniziale y''-2y'-3y=(2x+1)*e^x
le espressioni appena calcolate da te di y'', y' , y .
Camillo
Grazie mille Camillo!
cmq "Calanni" se guardi il documento che ti ho consigliato questo metodo per la risoluzione delle non omogenee c'è ed è spiegato molto bene
Facci Sapere,
Marvin
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