Equazioni differenziali 2 ordine

[*giuliobas]

Se qualcuno ha un pò di pazienza per spiegarmi il procedimento risolutivo di un equazione differenziale del 2 ordine tipo: x" - 2x' + x = 0 e x" - 4x' + 3x = sinh(t)
Grazie anticipatamente

[*giuliobas]

Qualcuno mi può aiutare?

[*giuliobas]

Aiuto!!!

[ale712]

sono equazioni di 2° grado lineari a coefficienti costanti.
risolviamo la 1°:
y''-2y'+y=0
studiamo il polinomio associato: z^2-2z+1=0
le cui soluzioni sono: z=1(doppia)
quindi la sol dell'eq diff=> y(x)=c1*e^x+c2*x*e^x (dove c1 e c2 sono costanti)
poi ti posto la sol della 2° eq
ale7

[ale712]

la 2° eq. mi da un po' di problemi con quel seno iperbolico!!
chi può aiutarmi??
devo cercare sol del tipo:Asinh(x)+Bcosh(x) giusto??
ma non trovo soluzioni!!
ale7

[Starsea1]

soluzione omogenea: l1=3 l2=1
quindi z(t)=c1e^3t+c2e^t
ma sinh t nn è uguale a 1/2(e^t-e^-t)?
così è somma si termini noti in forma speciale! e^lt (P(t)cosmt + Q(t)sinmt)
cioè: (e^t)/2 l=1, m=0, P(t)=1/2 Q(t)=0 essendo l+-im=soluzione dell'omogenea:
per questo termine noto ho trovato delle difficoltà in quanto:
w(t)=(ate^t)/2
w'(t)=(a/2)e^t + (ate^t)/2
w''(t)=(a/2)e^t + (a/2)e^t + (ate^t)/2 = (ae^t) + (ate^t)/2
per cui (ae^t) + (ate^t)/2 -ae^t -ate^t + (ate^t)/2 = (e^t)/2
quindi il risultato viene 0=1/2... avrò fatto un errore, ma nn so dove...qualcuno sa risolvere questo problemino?
per il secondo termine noto invece è tutto più facile:
(-e^-t)/2: l=-1 m=0 P(t)=-1/2 Q(t)=0 l+-im no soluzione omogenea:
w(t)=(-ae^-t)/2
w'(t)=(ae^-t)/2
w''(t)=(-ae^-t)/2
-(ae^-t)/2 -(ae^-t) -(ae^-t)/2 =(-e^-t)/2
a=1/4
per cui z(t)=c1e^3t+c2e^t+(-e^-t)/8+la soluzione del termine noto (e^t)/2 che nn sono riuscita a trovare