Equazioni differenziali

[MrChopin]

Non capisco minimamente il senso della soluzione di questo esercizio.
Dimostrare che la soluzione del problema di cauchy:
$ { ( y'=a(x)y ),( y(x_0)=1 ):} $
con $ a(x) $ continua in $ [a,b] $ e $ x in [a,b] $ annulla in alcun punto di $ [a,b] $
Questa è la soluzione:
Se esiste un $ bar(x) in [a,b] $ tale che $ y(bar(x))=0 $ sarebbe anche la soluzione di cachuy
$ { ( y'=a(x)y ),( y(bar(x))=0 ):} $
e cioè dovrebbe essere identicamente nulla, contro il fatto che $ y(x_0)=1 $
Cioè che cosa stiamo considerando che se per una variabile simile a x all'interno dello stesso insieme deve avere gli stessi valori di x?

[cooper1]

le soluzioni costanti di un'equazione differenziale a variabili separabili sono quelle per cui $b(y)=0$. in questo caso $y(x)=0$.
supponiamo che questa equazione abbia soluzione, ovvero supponiamo che esista un certo $barx in [a,b]$ che sia radice dell'equazione, ovvero che valga $y(barx)=0$.
si fa questa operazione in genere per separare le variabili e dividere per y (che deve essere diverso da 0, da cui la necessità di studiare le soluzioni costanti).
qui però abbiamo un problema di Cauchy e quindi la soluzione è unica. qual è questa soluzione? quella che soddisfa $y(x_0)=1$ e non può essercene nessun altra. dunque se noi abbiamo un certo numero $barx$ che rende vera $y(barx)=0$ non abbiamo che questo punto è soluzione del PdC perchè la condizione per cui $barx$ possa essere soluzione è che sostituito nella soluzione ritorni 1 e non 0!