Equazioni differenziali
ciao a tutti,
volevo verificare di aver svolto e ragionato in modo corretto e quindi vi posto il testo a la mia soluzione.
y′′′ +3y′′ +3y′ +y = g(x) (*)
A) se g(x) = 1, allora non esistono soluzioni di (∗) che sono limitate su IR
Falso poiché se g(x) = 1, la soluzione dell'equazione differenziale sarebbe proprio 1
B) se g(x) = 0, l’unica soluzione di (*) è h(x) = 0
Vero, 0 sarebbe unica soluzione dell'equazione differenziale
C) se g(x) = e^(x), allora (∗) ammette soluzioni della forma h(x) = ae^(x), dove a è un numero reale.
Falso poiché essendo λ=1 una radice allora le soluzioni dovrebbero essere della forma xae^(x)
D) se g(x) = sin x, allora (∗) ammette soluzioni della forma h(x) = a sin x, dove a è un numero reale.
Falso poiché dovrebbe essere nella forma asin(x) + bcos(x)
ho ragionato in modo corretto? grazie
volevo verificare di aver svolto e ragionato in modo corretto e quindi vi posto il testo a la mia soluzione.
y′′′ +3y′′ +3y′ +y = g(x) (*)
A) se g(x) = 1, allora non esistono soluzioni di (∗) che sono limitate su IR
Falso poiché se g(x) = 1, la soluzione dell'equazione differenziale sarebbe proprio 1
B) se g(x) = 0, l’unica soluzione di (*) è h(x) = 0
Vero, 0 sarebbe unica soluzione dell'equazione differenziale
C) se g(x) = e^(x), allora (∗) ammette soluzioni della forma h(x) = ae^(x), dove a è un numero reale.
Falso poiché essendo λ=1 una radice allora le soluzioni dovrebbero essere della forma xae^(x)
D) se g(x) = sin x, allora (∗) ammette soluzioni della forma h(x) = a sin x, dove a è un numero reale.
Falso poiché dovrebbe essere nella forma asin(x) + bcos(x)
ho ragionato in modo corretto? grazie
Risposte
A) corretto
B) falso: se $g=0$ allora una soluzione sarà $h=0$, ma questa non è l'unica (*). Infatti le soluzioni sono tutte quelle del tipo $P_2(x)e^{-x}$ con $P$ polinomio di grado 2
C,D) quanto dici è corretto per le soluzioni particolari, poi a quelle va aggiunta la soluzione generale dell'equazione omogenea associata, che dipende solo dagli autovalori $\lambda$ e non dalla $g$ (che è quella calcolata nel punto precedente)
In realtà nella C $\lambda = -1$, poiché il polinomio caratteristico associato è $(\lambda+1)^3$, quindi è semplicemente $ae^x$.
Se invece fosse $g(x)=e^{-x}$, allora avremmo soluzione particolare del tipo $a x^3 e^{-x}$, poiché la molteplicità dell'autovalore è 3.
(*)[size=85]Forse ti confonde il fatto che, quando fissi un problema di Cauchy, la soluzione è unica. In questo caso se avessi risolto un problema di Cauchy con condizione iniziale $y(t_0)=0$, allora quella sarebbe stata l'unica soluzione del problema di Cauchy. Ma se andiamo a cercare tutte le soluzioni dell'equazione differenziale (senza condizione iniziale), queste non possono essere uniche, perché formano uno spazio vettoriale (di dimensione 3 in questo caso)[/size]
B) falso: se $g=0$ allora una soluzione sarà $h=0$, ma questa non è l'unica (*). Infatti le soluzioni sono tutte quelle del tipo $P_2(x)e^{-x}$ con $P$ polinomio di grado 2
C,D) quanto dici è corretto per le soluzioni particolari, poi a quelle va aggiunta la soluzione generale dell'equazione omogenea associata, che dipende solo dagli autovalori $\lambda$ e non dalla $g$ (che è quella calcolata nel punto precedente)
In realtà nella C $\lambda = -1$, poiché il polinomio caratteristico associato è $(\lambda+1)^3$, quindi è semplicemente $ae^x$.
Se invece fosse $g(x)=e^{-x}$, allora avremmo soluzione particolare del tipo $a x^3 e^{-x}$, poiché la molteplicità dell'autovalore è 3.
(*)[size=85]Forse ti confonde il fatto che, quando fissi un problema di Cauchy, la soluzione è unica. In questo caso se avessi risolto un problema di Cauchy con condizione iniziale $y(t_0)=0$, allora quella sarebbe stata l'unica soluzione del problema di Cauchy. Ma se andiamo a cercare tutte le soluzioni dell'equazione differenziale (senza condizione iniziale), queste non possono essere uniche, perché formano uno spazio vettoriale (di dimensione 3 in questo caso)[/size]
hai ragione, ho avuto una svista nel calcolare gli autovalori.
Il problema adesso è che verrebbero contemporaneamente vere sia la B che la C, quindi quale delle due è sbagliata?
quindi tu dici che sia nella C che nella D, non facendo la domanda riferimento alle soluzioni date dall'integrale generale, sono da giudicarsi errate?
Il problema adesso è che verrebbero contemporaneamente vere sia la B che la C, quindi quale delle due è sbagliata?
quindi tu dici che sia nella C che nella D, non facendo la domanda riferimento alle soluzioni date dall'integrale generale, sono da giudicarsi errate?
Non sono errate se stai parlando di una soluzione particolare. Ma se cerca l'espressione generale della soluzione, questa sarà del tipo $h(x) = h_0(x) + \bar{h}(x)$, al variare delle soluzioni $h_0$ dell'equazione omogenea, dove $\bar{h}$ è una soluzione particolare.
Quello che è vero è che se $g=0$, una soluzione particolare è $0$. In effetti, non mi ero reso conto che avevi scritto che quella era l'unica soluzione. Questo non è vero, perché la soluzione generale è il prodotto di un polinomio di secondo grado e di $e^{-x}$
Correggo su.
"Matte941994":
hai ragione, ho avuto una svista nel calcolare gli autovalori.
Il problema adesso è che verrebbero contemporaneamente vere sia la B che la C, quindi quale delle due è sbagliata?
Quello che è vero è che se $g=0$, una soluzione particolare è $0$. In effetti, non mi ero reso conto che avevi scritto che quella era l'unica soluzione. Questo non è vero, perché la soluzione generale è il prodotto di un polinomio di secondo grado e di $e^{-x}$
Correggo su.
molto bene ho capito 
in pratica quella giusta è la C perché la B parla di un'unica soluzione ed ovviamente non considera quella generale.
molto gentile
in pratica quella giusta è la C perché la B parla di un'unica soluzione ed ovviamente non considera quella generale.
molto gentile
Proprio così! Figurati
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo