Equazioni differenziali

[Wippy93]

buongiorno ho un problema con questo esercizio qualcuno può per favore aiutarmi??? grazie
y'-xy=2x io ho iniziato con il risolvere l'equazione omogenea associata quindi y'-xy=0 ; dy/y=xdx ho integrato e ho ottenuto come risultato logy=x^2/2+c ; poi ponendo C=e^c e facendo l'esponenziale di ambo i membri dell'uguaglianza ho ottenuto y=Ce^(x^2\2) ho sostituito C con U(x) ottenendo y=U(x)e^(x^2\2); a questo punto faccio la derivata y'=U'(x)e^(x^2\2)+xe^(x^2\2)U(x) adesso sostituisco nell'equazione completa U'(x)e^(x^2\2)+xe^(x^2\2)U(x)-xe^(x^2\2)U(x)=2x e ottengo U'(x)=e^-(x^2\2)2x ora dovrei integrare ambo i membri ma non riesco a svolgere l'integrale $\int e^-(x^2\2)2x dx$. grazie.

[Gi81]

Premesso che si vede "a occhio" che $y= -2$ è soluzione particolare dell'equazione differenziale, e che quindi $y= c*e^(x^2/2) -2$ è soluzione dell'equazione differenziale per ogni $c in RR$,

$int e^(-x^2/2) 2x dx$ si risolve facendo la sostituzione $t= -x^2/2$
Si ha $dt= -1/2 2x dx$, da cui $-2 dt = 2x dx$. Perciò abbiamo $-2 int e^t dt= -2 e^t+k= -2e^(-x^2/2) +k$

[Wippy93]

Grazie mille comunque se ho chiesto aiuto è proprio perché non ho tutto questo "occhio" , sto cercando di imparare piano piano. Grazie!!

[Gi81]

Certo. In futuro, allora, prova a vedere se c'è una soluzione particolare immediata, prima di avventurarti in tutti quei calcoli