Equazioni differenziali:
Ho una grande confusione in testa per quanto riguarda la risoluzione di equazioni differenziali, ho studiato cosa sono, le loro applicazioni, i vari "tipi", ma non riesco a risolverle. Ad esempio ho questa equazione:
$y'+2/(x^2-1) y= 2x+2$ ... non voglio lo svolgimento bensi iniziare a capire su cosa ragionare. A prima lettura vedo che è un'equazione differenziale di primo ordine.
$y'+2/(x^2-1) y= 2x+2$ ... non voglio lo svolgimento bensi iniziare a capire su cosa ragionare. A prima lettura vedo che è un'equazione differenziale di primo ordine.
Risposte
L'equazione è lineare, cioè di questo tipo $y'+a(x) y=b(x)$. Dovresti conoscere una "regola" per risolverla.
è proprio questo il problema... Il prof si limita a descriverle... vedendo da internet devo applicare la formula per l'integrale generale?
Che significa: si limita a descriverle?
Descrive cosa siano, a cosa servono, e quali tipo di equazioni vi sono. Come posso fare?
Cioè, aspetta, fammi capire. Tu studi un corso di analisi, con argomento le equazioni differenziali, e non vi viene detto come risolverle?
Studio da autodidatta, ed ho seguito un corso generale di Matematica a scienze biologiche, ma non ci viene detto nulla a riguardo.
Allora con la formula ci sono. Ottengo :
$e^(-2arctgx) [ c1 +int (2x+2)e^(2arctgx) dt$
Ora chi è c1? e come continuo?
$e^(-2arctgx) [ c1 +int (2x+2)e^(2arctgx) dt$
Ora chi è c1? e come continuo?
Ah, ok. Dunque, la formula che hai applicato mi pare questa:
$$y(x)=e^{-A(x)}\left[\int b(x) e^{A(x)}\ dx+c\right],\qquad A(x)=\int a(x)\ dx$$
ed è corretta. Un po' meno il calcolo di $A(x)$: ti faccio presente che $\int\frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan x$. Quindi quello che hai scritto non è corretto.
$$y(x)=e^{-A(x)}\left[\int b(x) e^{A(x)}\ dx+c\right],\qquad A(x)=\int a(x)\ dx$$
ed è corretta. Un po' meno il calcolo di $A(x)$: ti faccio presente che $\int\frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan x$. Quindi quello che hai scritto non è corretto.
Ma il mio $a(x)= 2/(1+x^2)$ quindi non viene $2arctanx$?
Poi un'altra domanda mi posso fermare qui, o devo risolvere il secondo integrale?
Poi un'altra domanda mi posso fermare qui, o devo risolvere il secondo integrale?
Ma a me nell'equazione (quella scritta all'inizio) pare che sia $a(x)=\frac{2}{x^2-1}$ o sbaglio? Deciditi: qual è? 
Appunto questa è. xD
E allora lo vedi che hai sbagliato a scrivere $A(X)$? Se $a(x)$ è quella che ho scritto io allora
$$A(x)=\int\frac{2}{x^2-1}\ dx=\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\ dx=\log|x-1|-\log|x+1|=\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$$
$$A(x)=\int\frac{2}{x^2-1}\ dx=\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\ dx=\log|x-1|-\log|x+1|=\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$$
Una volta sostituito A(x) poi? devo risolvere l'altro integrale o posso fermarmi?
Certo che devi risolvere l'altro. Vabbé, ho capito: allora hai
$$\int (2x+2) e^{\log|(x-1)/(x+1)|}\ dx=\int 2(x+1)\cdot\frac{x-1}{x+1}\ dx=\int 2(x-1)\ dx=x^2-2x$$
e pertanto
$$y(x)=\frac{x+1}{x-1}\left[x^2-2x+c\right]$$
$$\int (2x+2) e^{\log|(x-1)/(x+1)|}\ dx=\int 2(x+1)\cdot\frac{x-1}{x+1}\ dx=\int 2(x-1)\ dx=x^2-2x$$
e pertanto
$$y(x)=\frac{x+1}{x-1}\left[x^2-2x+c\right]$$
Se avevo , come ho sbagliato prima, $2/(1+x^2) $, l'integrale sarebbe $int 2(x+1)(e^(2arctanx) $ come svolgo questo integrale?
Potresti porre $\arctan x=t$, in modo da avere $x=\tan t$ e quindi $dx=(1+\tan^2 t)\ dt$, da cui l'integrale
$$\int 2(1+\tan t)(1+\tan^2 t) e^t\ dt=2\left[\int e^t\ dt+\int \tan t e^t\ dt+\int\tan^2 t e^t\ dt+\int \tan^3 t e^t\ dt\right]$$
e provare a farlo per parti, ma diventa una cosa infinita! Anche se, forse, esiste una formula ricorsiva per l'integrale $I_n=\int e^t\tan^n t\ dt$
$$\int 2(1+\tan t)(1+\tan^2 t) e^t\ dt=2\left[\int e^t\ dt+\int \tan t e^t\ dt+\int\tan^2 t e^t\ dt+\int \tan^3 t e^t\ dt\right]$$
e provare a farlo per parti, ma diventa una cosa infinita! Anche se, forse, esiste una formula ricorsiva per l'integrale $I_n=\int e^t\tan^n t\ dt$
Grazie mille. Super chiaro come sempre!
Solo una piccola cosa... quando l'esercizio mi chiede di : determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale... cosa devo fare di preciso ? è la stessa cosa giusto?
L'integrale generale è la soluzione "generica" di una equazione differenziale, quella dipendente dalle costanti variabili, per intenderci. Tuttavia potresti avere anche soluzioni singolari, cioè che non si possono ottenere dalla forma generale della soluzione. Ad esempio $y'=y^2-1$ ha come soluzione generale $y(x)=\frac{1+ce^{2x}}{1-ce^{2x}}$ e come soluzione singolare $y=-1$, la quale non si può ottenere per nessuna scelta di $c$ (mentre l'altra soluzione costante $y=1$ si ottiene ponendo $c=0$).
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