Equazioni Differenziali

[Sessa93]

Ciao a tutti,

vi propongo la seguente equazione:

$ y' = (y-y^2)/x $

la risolvo così:

$ dy/dx = (1/x)(y-y^2) $

SOLUZIONI PARTICOLARI: $ y = 0, y = 1 $

Calcolo integrale generale:
$ dy/(y-y^2)=(1/x)dx $

$ int dy/(y-y^2)=int 1/xdx $

$ int 1/y dy + int 1/(1-y)dy = int 1/xdx $

$ ln|y|-ln|1-y|=ln|x|+c $

$ ln|y/(1-y)|=ln|x|+c $

$ c = lnk, k > 0 $

$ ln|y/(1-y)|=ln(k|x|) $

$ |y/(1-y)|=k|x| $

$ y/(1-y)=+-k|x| $

$ b = +-k, b in \mathbb{R} $

$ y/(1-y)=b|x| $

$ y = b|x|-b|x|y $

$ y = (b|x|)/(1+b|x|) $

Ora, la soluzione del libro è:

$ y = x/(x+c), y = 0, y = 1 $

e non riesco a capire perchè. Grazie per l'aiuto!

[ciampax]

Raccoglie la costante: $\frac{bx}{1+bx}=\frac{bx}{b(1/b+x)}=\frac{x}{c+x}$ con $c=1/b$. Inoltre, i valori assoluti puoi eliminarli senza lasciare alcun segno (vengono assorbiti dalla costante arbitraria).

[Sessa93]

Tutto chiaro, grazie!