Equazioni differenziali
ciao raga..potreste spiegarmi una cosa?
ho questa equazione differenziale del secondo ordine non omogenea, $ y''+4y=4cos(2x) $
risolvendo il polinomio associato ottengo soluzioni complesse $ +- 2i $ e ho capito che la soluzione generale è
$ y(x)= C1cos(2x)+C2sin(2x) + bar(y) $
a questo punto non capisco perchè a volte la soluzione particolare è $ bar(y) = x(Acos(2x)+Bsin(2x)) $ mentre altre volte è
solamente $ bar(y) = Acos(2x)+Bsin(2x) $ da cosa lo capisco? su questo pdf parla di molteplicità..potete aiutarmi a capire? http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... (riepilogo).pdf
per favor
ho questa equazione differenziale del secondo ordine non omogenea, $ y''+4y=4cos(2x) $
risolvendo il polinomio associato ottengo soluzioni complesse $ +- 2i $ e ho capito che la soluzione generale è
$ y(x)= C1cos(2x)+C2sin(2x) + bar(y) $
a questo punto non capisco perchè a volte la soluzione particolare è $ bar(y) = x(Acos(2x)+Bsin(2x)) $ mentre altre volte è
solamente $ bar(y) = Acos(2x)+Bsin(2x) $ da cosa lo capisco? su questo pdf parla di molteplicità..potete aiutarmi a capire? http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... (riepilogo).pdf
per favor
Risposte
Il tuo termine noto è \(4\cos 2x\), il quale è in forma comoda, poiché si scrive come \(e^{\alpha x} (p_n(x)\ \cos \beta x+q_n(x)\ \sin \beta x)\) con \(\alpha=0\), \(\beta =2\), \(n=0\), \(p_0(x)=4\) e \(q_0(x)=0\).
Il numero complesso individuato dal tuo termine noto è \(\alpha +\imath \beta =2\imath\), il quale è radice del polinomio caratteristico di molteplicità \(\mu=1\); dunque puoi applicare la seconda parte della proposizione citata e cercare la soluzione della tua EDO completa nella forma:
\[
e^{\alpha x} (x^\mu\ P_n(x)\cos \beta x + x^\mu\ Q_n(x)\sin \beta x) = A\ x\ \cos 2x
\]
in cui \(P_0(x)=A\) è un polinomio di grado zero con i coefficienti incogniti da determinare sostituendo la candidata soluzione nella EDO.
Il numero complesso individuato dal tuo termine noto è \(\alpha +\imath \beta =2\imath\), il quale è radice del polinomio caratteristico di molteplicità \(\mu=1\); dunque puoi applicare la seconda parte della proposizione citata e cercare la soluzione della tua EDO completa nella forma:
\[
e^{\alpha x} (x^\mu\ P_n(x)\cos \beta x + x^\mu\ Q_n(x)\sin \beta x) = A\ x\ \cos 2x
\]
in cui \(P_0(x)=A\) è un polinomio di grado zero con i coefficienti incogniti da determinare sostituendo la candidata soluzione nella EDO.
"gugo82":
Il tuo termine noto è \(4\cos 2x\), il quale è in forma comoda, poiché si scrive come \(e^{\alpha x} (p_n(x)\ \cos \beta x+q_n(x)\ \sin \beta x)\) con \(\alpha=0\), \(\beta =2\), \(n=0\), \(p_0(x)=4\) e \(q_0(x)=0\).
Il numero complesso individuato dal tuo termine noto è \(\alpha +\imath \beta =2\imath\), il quale è radice del polinomio caratteristico di molteplicità \(\mu=1\); dunque puoi applicare la seconda parte della proposizione citata e cercare la soluzione della tua EDO completa nella forma:
\[
e^{\alpha x} (x^\mu\ P_n(x)\cos \beta x + x^\mu\ Q_n(x)\sin \beta x) = A\ x\ \cos 2x
\]
in cui \(P_0(x)=A\) è un polinomio di grado zero con i coefficienti incogniti da determinare sostituendo la candidata soluzione nella EDO.
inizio a capire qualcosa..però non capisco, le soluzioni del polinomio saranno sempre radici del polinomio caratteristico? o no? e avranno sempre molteplicità 1..quindi sarà sempre del tipo $ y(x)= x(Acos(2x)+Bsin(2x)) $ ? oppure mi spiegheresti perchè in questa eq. diff. la soluzione è solo $ y(x)= Acos(2x)+Bsin(2x) $ ?
$ y''+2y'+y=-3cos(2x)-4sin(2x) $ si ottengono dal poli. caratteristico $ lambda 1=lambda 2=-1 $ ..
oppure con un'altra $ y''+2y'+2y=4cos(2x)-2sin(2x) $ ottenendo $ alpha +ibeta =-1+i $ ..
ps: ti ringrazio per il tempo concesso
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