Equazioni differenziali

[M4rk1]

Salve a tutti ragazzi, ho un problema con la seguente equazione differenziale:
$(2y-1)y'=1$
Non so come risolverla... o meglio, ho risolto con il metodo delle variabili separabili e ottengo:
$(2y-1)dy=dx$
$y^2-y=x+c$
Secondo voi è corretto?

Poi se devo trovare la soluzione del problema di Cauchy in $y(0)=0$ ottengo $y^2-y=x$

Grazie mille.

[Cuspide83]

No

[M4rk1]

e come la dovrei risolvere? e soprattutto, perché non è così?

[Cuspide83]

Hai separato le variabili ma hai sbagliato l'integrazione

\[\int{\frac{1}{2y-1}dy}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t-1}dt}=\frac{1}{2}\ln{|t-1|}+c=\frac{1}{2}\ln{|2y-1|}+c\]

[M4rk1]

non riesco a capire.... provo a fare i passaggi:
$(2y-1)y'=1$
$(2y-1)\frac{dy}{dx}=1$
$(2y-1)dy=dx$
$\int(2y-1)dy=\intdx$
e ottengo di nuovo
$y^2-y=x+c$

Dove sbaglio?

[Cuspide83]

Scusaaaaaaaaaaaaaaaami M4rk prima andando veloce ho letto male infatti io \(2y-1\) l'ho messo a denominatore. Scusa ancora non ho letto bene. Si si hai fatto bene

[Gi81]

Anche per me è tutto corretto.
Per andare avanti conviene fare il completamento del quadrato: $4y^2-4y=4x+4c=> 4y^2-4y+1=4x+4c+1=> (2y-1)^2= 4x+4c+1$

Ora, se deve valere $y(0)=0$ si ha $1=4c+1$ da cui $c=0$.
$2y-1= -sqrt(4x+1)$ (perchè ho preso il segno $-$?) $=> y= 1/2 -1/2 sqrt(4x+1)$

Controllo: $y'= -1/2 *1/2* 4/sqrt(4x+1)= - 1 /sqrt(4x+1)$ OK

[M4rk1]

"Gi8":$2y-1= -sqrt(4x+1)$ (perchè ho preso il segno $-$?) $=> y= 1/2 -1/2 sqrt(4x+1)$

Controllo: $y'= -1/2 *1/2* 4/sqrt(4x+1)= - 1 /sqrt(4x+1)$ OK

Non ho capito perché hai preso il segno $-$..che controllo hai fatto?

[Gi81]

Se prendo il segno $+$ ottengo $2y-1=sqrt(4x+1)$, e non vale più $y(0)=0$