Equazioni differenziali
Salve a tutti.
Dunque stavo studiando l'equazione di Streeter-Phelps, utile per prevedere quanto si depauperano le acque di ossigeno dopo l'immissione di un inquinante organico.
http://www.ifh.uni-karlsruhe.de/lehre/e ... dx_spe.PDF
Quello che volevo chiedervi era se poteva spiegarmi, in parole semplici, alcuni passaggi che non capisco.
1. Allora, ho capito che l'equazione differenziale è disomogenea e va risolta sommando soluzione associata e soluzione particolare. Quindi parto da quella associata (C.2).
Il fatto è che io integrando trovo:
$D(t) = D(o)*e^(-K_2t)$
Da dove appare $C_1$?
2. La soluzione particolare invece non ho capito dove la tira fuori, così come non ho capito come sostituisce la C.4 nella C.1.
Vi ringrazio molto
Dunque stavo studiando l'equazione di Streeter-Phelps, utile per prevedere quanto si depauperano le acque di ossigeno dopo l'immissione di un inquinante organico.
http://www.ifh.uni-karlsruhe.de/lehre/e ... dx_spe.PDF
Quello che volevo chiedervi era se poteva spiegarmi, in parole semplici, alcuni passaggi che non capisco.
1. Allora, ho capito che l'equazione differenziale è disomogenea e va risolta sommando soluzione associata e soluzione particolare. Quindi parto da quella associata (C.2).
Il fatto è che io integrando trovo:
$D(t) = D(o)*e^(-K_2t)$
Da dove appare $C_1$?
2. La soluzione particolare invece non ho capito dove la tira fuori, così come non ho capito come sostituisce la C.4 nella C.1.
Vi ringrazio molto
Risposte
Ciao
la costante $C_1$ è una costante moltiplicativa che va inserita e poi deve essere trovata utilizzando le condizioni iniziali.
Senza condizioni iniziale non puoi avere l'unicità della soluzione
Per quanto riguarda la soluzione particolare, il testo stesso ti dice come la trova
il termine non omogeneo di partenza è $k_d L_0 e^(-k_d t)$ pertanto si assume che la soluzione particolare sia nella stessa forma
viene presa quindi una forma del tipo $A e^(-k_d t)$ dove $A$ è anch'essa da trova ricordando che la soluzione particolare è appunto una soluzione dell'equazione differenziale iniziale. ti basta quindi prendere $A e^(-k_d t)$ (opportunamente derivato) e sostituirlo nell'equazione originale e trovare quanto vale $A$
la costante $C_1$ è una costante moltiplicativa che va inserita e poi deve essere trovata utilizzando le condizioni iniziali.
Senza condizioni iniziale non puoi avere l'unicità della soluzione
Per quanto riguarda la soluzione particolare, il testo stesso ti dice come la trova
il termine non omogeneo di partenza è $k_d L_0 e^(-k_d t)$ pertanto si assume che la soluzione particolare sia nella stessa forma
viene presa quindi una forma del tipo $A e^(-k_d t)$ dove $A$ è anch'essa da trova ricordando che la soluzione particolare è appunto una soluzione dell'equazione differenziale iniziale. ti basta quindi prendere $A e^(-k_d t)$ (opportunamente derivato) e sostituirlo nell'equazione originale e trovare quanto vale $A$
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