Equazioni differenziale secondo ordine
Sia $a=|x|/sqrt(t)$
Qualcuno mi può spiegare come risolvere la seguente equazione differenziale?
$w"(a) + (a*(1/2)+(n-1)/a)w'(a) + w(a)*n/2 = 0$
Pensavo fosse da risolvere usando il polinomio caratteristico associato, ma credo in realtà sia una castroneria.
Grazie
Qualcuno mi può spiegare come risolvere la seguente equazione differenziale?
$w"(a) + (a*(1/2)+(n-1)/a)w'(a) + w(a)*n/2 = 0$
Pensavo fosse da risolvere usando il polinomio caratteristico associato, ma credo in realtà sia una castroneria.
Grazie
Risposte
Ciao GuidoFretti,
Sicuro del testo?
Se l'equazione differenziale proposta è
$ w''(a) + (1/2 a+(n-1)/a)w'(a) + n/2 w(a) = 0 $
si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine di Sturm-Liouville:
$"d"/("d"a) [a^{n - 1}e^{a^2/4} w'(a)] + n/2 a^{n - 1} e^{a^2/4} w(a) = 0 $
La sua soluzione coinvolge funzioni speciali e non è affatto banale...
Sicuro del testo?
Se l'equazione differenziale proposta è
$ w''(a) + (1/2 a+(n-1)/a)w'(a) + n/2 w(a) = 0 $
si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine di Sturm-Liouville:
$"d"/("d"a) [a^{n - 1}e^{a^2/4} w'(a)] + n/2 a^{n - 1} e^{a^2/4} w(a) = 0 $
La sua soluzione coinvolge funzioni speciali e non è affatto banale...
Si il testo é corretto e l'equazione deriva dallo studio dell'equazione del calore.
Con lo notazione da me scritta, il testo è come da te riportato.
Per caso vi è una buona illustrazione del procedimento per arrivare alla soluzione?
Grazie
Con lo notazione da me scritta, il testo è come da te riportato.
Per caso vi è una buona illustrazione del procedimento per arrivare alla soluzione?
Grazie
Potresti dare un'occhiata ad esempio qui, in particolare nelle ulteriori letture i testi di Gerald Teschl.
La soluzione risulta essere la seguente:
$w(a) = c_1 e^{- a^2/4} + c_2 2^{1 - n} e^{- a^2/4} (-a^2)^{n/2} a^{-n}\Gamma(1 - n/2, - a^2/4) $
ove $ a = |x|/sqrt(t) > 0 $ e
$\Gamma(b, z) := \int_z^{+\infty} u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u $ è la funzione gamma incompleta superiore,
$\Gamma(b) := \gamma(b, z) + \Gamma(b, z) = \int_0^z u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u + \int_z^{+\infty} u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u $
quindi naturalmente
$\gamma(b, 0) + \Gamma(b, 0) = \int_0^0 u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u + \int_0^{+\infty} u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u = \int_0^{+\infty} u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u = \Gamma(b) $
La soluzione risulta essere la seguente:
$w(a) = c_1 e^{- a^2/4} + c_2 2^{1 - n} e^{- a^2/4} (-a^2)^{n/2} a^{-n}\Gamma(1 - n/2, - a^2/4) $
ove $ a = |x|/sqrt(t) > 0 $ e
$\Gamma(b, z) := \int_z^{+\infty} u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u $ è la funzione gamma incompleta superiore,
$\Gamma(b) := \gamma(b, z) + \Gamma(b, z) = \int_0^z u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u + \int_z^{+\infty} u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u $
quindi naturalmente
$\gamma(b, 0) + \Gamma(b, 0) = \int_0^0 u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u + \int_0^{+\infty} u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u = \int_0^{+\infty} u^{b - 1} e^{- u} \text{d}u = \Gamma(b) $
Grazie mille, non ci sarei mai arrivato chiaramente. Altre soluzione non esistono quindi?
Grazie
Grazie
Ho modificato il mio post precedente, perché naturalmente non può essere $a = 0 $ dato che è un punto singolare dell'equazione differenziale scritta, comparendo a denominatore nel termine fra parentesi che moltiplica $w'(a) $
Grazie della precisazione
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