Equazioni differenziale con parametri

[maurizio19971]

$y^{\prime}' -(4-\alpha)y^{\prime} =3cos(2x)-5sin(2x)$ con $\alpha in RR$

Qualcuno riesce a risolverla? Non riesco proprio a venirne a capo

[edoardo123451]

L'omogenea pone il polinomio caratteristico
$\lambda^2-(4-\alpha)\lambda=0$ da cui ricavi che la soluzione è:

$y_O=C_1+C_2e^{(4-\alpha)x}$

Per la soluzione particolare poni:

$y_P=C_3cos(2x)+C_4sin(2x)$ sostituisci nell'equazione differenziale di partenza e determini i coefficienti $C_3$ e $C_4$

La soluzione dell'equazione differenziale completa sarà $y=y_P+y_O$

[maurizio19971]

Si ma al variare del parametro

[edoardo123451]

Eh non cambia nulla... procedi allo stesso modo e vedi cosa cambia. In particolare (per l'equazione omogenea) avrai che per $\alpha=4$ avrai una sola soluzione di molteplicità 2 ($\lambda=0$), dunque la soluzione sarà... per $4-\alpha>0$ la soluzione non costante sarà un'esponenziale reale, sennò immaginario.
Procedi lo studio per la soluzione particolare