Equazioni Differenziale

[matthew.s]

Nella risoluzione di un'equazione differenziale

Y'' + y' + y = 0

L'integrale generale dell'equazione mi risulta questa :

[math]y=e^{\frac {-x}{2}} (c1 * cos (\frac {\sqrt{3}}{2}x) + c2 * sen (\frac {\sqrt{3}}{2}x)) + x^{2}-x[/math]

Adesso dovrei fare la derivata prima e poi impostare un sistema e che mi dia il valore di c1 e c2. Ma non riesco a proseguire

Aggiunto 18 ore 54 minuti più tardi:

Scusami ho scritto male era

[math]y'' + y' + y = x^{2} + x + 1[/math]

nella derivata diventa -1/2 y(x) perchè è e^{-x/2} giusto? o da cosa dipende ?
scusa se chiedo cose scontate

Aggiunto 2 ore 38 minuti più tardi:

Potresti spiegarmi passo passo il problema di Cauchy? L'ho cercato in varie parti ma non lo capisco

[ciampax]

Come è possibile che ti venga fuori quella soluzione generale? L'equazione è omogenea, per cui l'unica cosa da risolvere è il polinomio associato all'equazione:

[math]\lambda^2+\lambda+1=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]\lambda_{1,2}=\frac{-1\pmi\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

da cui ricavi la soluzione generale

[math]y(x)=e^{-x/2}\left(C_1\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+C_2\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)[/math]

A questo punto, se hai le condizioni iniziali

[math]y(0)=a,\ y'(0)=b[/math]

basta procedere in questo modo: calcola la derivata prima della tua soluzione, che viene

[math]y'(x)=-\frac{1}{2} y(x)+e^{-x/2}\frac{\sqrt{3}}{2}\left(C_2\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x-C_1\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)[/math]

e sostituisci alla funzione e alla derivata

[math]x=0[/math]

: otterrai le due equazioni

[math]a=C_1,\qquad b=-\frac{1}{2}C_1+\frac{\sqrt{3}}{2}C_2[/math]

le cui soluzioni sono

[math]C_1=a,\qquad C_2=\frac{2b+a}{\sqrt{3}}[/math]

Aggiunto 4 ore 29 minuti più tardi:

Ah ecco. Allora, al soluzione particolare da ricercare è del tipo:

[math]y_p(x)=ax^2+bx+c[/math]

da cui derivando si ha

[math]y_p'(x)=2ax+b,\qquad y_p''(x)=2a[/math]

e quindi sostituendo

[math]2a+2ax+b+ax^2+bx+c=x^2+x+1[/math]

e quindi

[math]a=1,\ 2a+b=1,\ 2a+b+c=1\ \Rightarrow\ a=1,\ b=-1,\ c=0[/math]

e quindi

[math]y_p(x)=x^2-x[/math]

. La soluzione generale è allora

[math]y(x)=e^{-x/2}\cdot F(x)+y_p(x)[/math]

dove indico

[math]F(x)=C_1\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+C_2\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x[/math]

per semplicità. A questo punto per risolvere il problema di Cauchy, se

[math]y(0)=a,\ y'(0)=b[/math]

ottieni

[math]a=y(0)=A(0)+y_p(0)=C_1[/math]

mentre derivando

[math]y'(x)=-\frac{1}{2} e^{-x/2} A(x)+e^{-x/2} A'(x)+y_p'(x)[/math]

e quindi

[math]b=y'(0)=-\frac{1}{2} A(0)+A'(0)+y'_p(0)=-\frac{C_1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}C_2-1[/math]

Il coefficiente

[math]-1/2[/math]

viene furoi dalla derivata dell'esponenziale, come vedi.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Allora, scusa il ritardo ma ieri sono stato impegnato. Dunque, il problema di Cauchy per una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti è della forma

[math]\left\{\begin{array}{l}
y''+py'+q=r(x)\\
y(x_0)=a\\
y'(x_0)=b
\end{array}\right.[/math]

dove

[math]x_0[/math]

è un punto fissato nell'insieme di definizione della soluzione dell'equazione. Ora, una volta che hai trovato la soluzione nella forma generale

[math]y(x)=y_0(x)+y_p(x)[/math]

dove

[math]y_0[/math]

è la soluzione dell'omogenea, che dipende dalle costanti generiche

[math]C_1,\ C_2[/math]

, mentre

[math]y_p[/math]

è la soluzione particolare, per risolvere il problema si procede così:

1) Calcola la derivata dalla soluzione

[math]y'(x)=y_0'(x)+y_p'(x)[/math]

;
2) Calcola

[math]y(x_0),\ y'(x_0)[/math]

sostituendo il valore di

[math]x_0[/math]

nella funzione e nella sua derivata;
3) risolvi il sistema di equazioni

[math]a=y_0(x_0)+y_p(x_0),\qquad b=y_0'(x_0)+y_p'(x_0)[/math]

che dipende dalle due costanti

[math]C_1,\ C_2[/math]

e le determini.

Se ci sono problemi, fammi sapere.