Equazioni Diff. non Omogenee ....
Ciao ragazzi ho iniziato a fare le equazioni differenziali ....
per quelle del primo ordine non ci sono problemi .... se non per gli integrali che a volte escono unpò difficili....invece le
equazioni differenziali omogenne a coefficienti costanti credo di saperli fare, ho solo un dubbio che chiederò dopo aver risolto questo.... mentre ora con le equazioni differenziali non omogenne a coefficienti costanti ho un problema....
ho visto che posso risolverò o per somiglianza o per il metodo di lagrange (quest'ultimo credo di non usarlo perchè ho provato con alcune equazioni e quando vado a fare gli integrali per C1 e C2 a volte escono impossibili, infatti vi chiedo c'è un metodo o avete qualche consiglio per scegliere come procedere per facilitare le cose?!) ... usando per somiglianza trovo problema non nel cercare la sommiglianza ma nel trovare il caso di quella somiglianza cioè ....
ho questa equazione
$y^('')-2y^{\prime}+y=sinx$
dopo aver trovato l'equazione associata omogenea
$y_o(x)=C_1e^x+xC_2e^x$
la somiglianza di $g(t)$ (termine noto) è $sin(betax)Q(x)$
ma sul mio libro dice che e $ibeta $ non è radice dell'equazione perchè!?
poi continua scrivendo
$y_p(x)=Acosx-Bsinx$ perchè esce cosi!? cioè Acosx e Bsinx.... grazie in anticipo
per quelle del primo ordine non ci sono problemi .... se non per gli integrali che a volte escono unpò difficili....invece le
equazioni differenziali omogenne a coefficienti costanti credo di saperli fare, ho solo un dubbio che chiederò dopo aver risolto questo.... mentre ora con le equazioni differenziali non omogenne a coefficienti costanti ho un problema....
ho visto che posso risolverò o per somiglianza o per il metodo di lagrange (quest'ultimo credo di non usarlo perchè ho provato con alcune equazioni e quando vado a fare gli integrali per C1 e C2 a volte escono impossibili, infatti vi chiedo c'è un metodo o avete qualche consiglio per scegliere come procedere per facilitare le cose?!) ... usando per somiglianza trovo problema non nel cercare la sommiglianza ma nel trovare il caso di quella somiglianza cioè ....
ho questa equazione
$y^('')-2y^{\prime}+y=sinx$
dopo aver trovato l'equazione associata omogenea
$y_o(x)=C_1e^x+xC_2e^x$
la somiglianza di $g(t)$ (termine noto) è $sin(betax)Q(x)$
ma sul mio libro dice che e $ibeta $ non è radice dell'equazione perchè!?
poi continua scrivendo
$y_p(x)=Acosx-Bsinx$ perchè esce cosi!? cioè Acosx e Bsinx.... grazie in anticipo
Risposte
Ciao
il termine noto $sin(x)$ lo puoi vedere come
$e^(alpha x) (k_1 sin(beta x) + k_2 cos(beta x)$
dove $alpha = 0$,$k_1=1$ e $k_2=0$
quando hai un termine noto in questa forma, devi distinguere 2 casi
caso 1) se $alpha +- i beta$ sono soluzioni dell'omogenea associata allora il tuo integrale sarà nella forma
$w(x) = x^r e^(alpha x) (Asin(beta x) + B cos(beta x))$
dove $r$ è la molteplicitità della soluzione $alpha +- i beta$
case 2) se $alpha +- i beta$ non sono soluzioni dell'omogenea associata allora il tuo integrale sarà nella forma
$w(x) = e^(alpha x) (Asin(beta x) + B cos(beta x))$
premetto che non ho fatto i conti nel tuo caso, ma stando a quello che il tuo libro dice, ti trovi nel caso in cui $alpha +- i beta$ non è soluzione dell'omogenea associata
quindi la tua soluzione è nella forma
$w(x) = e^(alpha x) (Asin(beta x) + B cos(beta x))$
il termine noto $sin(x)$ lo puoi vedere come
$e^(alpha x) (k_1 sin(beta x) + k_2 cos(beta x)$
dove $alpha = 0$,$k_1=1$ e $k_2=0$
quando hai un termine noto in questa forma, devi distinguere 2 casi
caso 1) se $alpha +- i beta$ sono soluzioni dell'omogenea associata allora il tuo integrale sarà nella forma
$w(x) = x^r e^(alpha x) (Asin(beta x) + B cos(beta x))$
dove $r$ è la molteplicitità della soluzione $alpha +- i beta$
case 2) se $alpha +- i beta$ non sono soluzioni dell'omogenea associata allora il tuo integrale sarà nella forma
$w(x) = e^(alpha x) (Asin(beta x) + B cos(beta x))$
premetto che non ho fatto i conti nel tuo caso, ma stando a quello che il tuo libro dice, ti trovi nel caso in cui $alpha +- i beta$ non è soluzione dell'omogenea associata
quindi la tua soluzione è nella forma
$w(x) = e^(alpha x) (Asin(beta x) + B cos(beta x))$
fin qua ci ero arrivato anche io , ma il mio problema non era su quale fosse la soluzione ma sul perchè $ibeta$ non fosse radice... cioè come faccio a vedere per distinguere tra quei due casi....
e poi non si scrive prima il coseno e poi il seno ? così
$e^(alpha x)(K_1cos(betax)+k_2sin(betax))$
e poi non si scrive prima il coseno e poi il seno ? così
$e^(alpha x)(K_1cos(betax)+k_2sin(betax))$
Ciao,
avevo capito male io che cosa tu chiedessi
la tua omogenea associata è
$lambda^2 -2 lambda +1 = 0$ che ti due soluzioni coincidenti $lambda = 1$ pertanto un qualsiasi numero immaginario non può essere soluzione dell'equazione
proprietà commutativa dell'addizione: invertendo l'ordine degli addendi il risultato non cambia
avevo capito male io che cosa tu chiedessi
la tua omogenea associata è
$lambda^2 -2 lambda +1 = 0$ che ti due soluzioni coincidenti $lambda = 1$ pertanto un qualsiasi numero immaginario non può essere soluzione dell'equazione
"guardiax":
e poi non si scrive prima il coseno e poi il seno ? così
$e^(alpha x)(K_1cos(betax)+k_2sin(betax))$
proprietà commutativa dell'addizione: invertendo l'ordine degli addendi il risultato non cambia
ok allora da quello che mi stai dicendo se nell'equazione associata mi escono radici reali e distinte e il termine noto ci sta un cos o sin questa non sarà mai una sua radice.. per esserlo anche nell'equazione associata ci deve essere il numero complesso.... puoi farmi un esempio quando c'è un sin o cos ed è radice ... per farmi capire come riesco a vedere... perchè anche se nell'equazione associata c'è un numero complesso non è detto che sia uguale al termine noto ..... non so se mi sono spiegato bene :S....
"guardiax":
ok allora da quello che mi stai dicendo se nell'equazione associata mi escono radici reali e distinte e ...
noto che fai un po' di confusione con i termini...
nel tuo caso non avevi due soluzioni "reali e distinte" ma due soluzioni "reali e coincidenti" o, se preferisci, una soluzione con molteplicità pari a 2.
Per avere un caso in cui non hai soluzioni reali ti basta prendere un'equazione differenziale del tipo:
$ y'' +25 = cos(5x) $
l'omogenea associata ha soluzioni $lambda_(1,2) = +- 5i$
il termine noto è quindi nella forma
$e^(alpha x) (k_1 sin(beta x) + k_2 cos(beta x))$
dove hai $alpha = 0$, $k_1=0$ e $k_2=1$
e poi applichi il ragionamento di prima
"Summerwind78":
Per avere un caso in cui non hai soluzioni reali ti basta prendere un'equazione differenziale del tipo:
$ y'' +25 = cos(5x) $
l'omogenea associata ha soluzioni $lambda_(1,2) = +- 5i$
il termine noto è quindi nella forma
$e^(alpha x) (k_1 sin(beta x) + k_2 cos(beta x))$
dove hai $alpha = 0$, $k_1=0$ e $k_2=1$
e poi applichi il ragionamento di prima
ho capito il ragionamento, mi è chiaro anche $alpha = 0$ ma $k_1=0$ e $k_2=1$ da dove li prendi!?
Poni $e^(alpha x)(k_1 sin(beta x) + k_2 cos(beta x)) = cos(5x)$
Perché questa equazione sia verificata devi avere $alpha=0, beta=5, k_1=0, k_2=1$
Perché questa equazione sia verificata devi avere $alpha=0, beta=5, k_1=0, k_2=1$
"Summerwind78":
Poni $e^(alpha x)(k_1 sin(beta x) + k_2 cos(beta x)) = cos(5x)$
Perché questa equazione sia verificata devi avere $alpha=0, beta=5, k_1=0, k_2=1$
ok ho capito ... ma non mi serve a niente sapere $k_1$ e $k_2$ perchè io la soluzione particolare scrivero
$y_p(x)=(A sin(5x) + B cos(5x))$
dove poi farò le derivate prima e seconda $y_p^('')+y_p^{\prime}$che andrò a sostiuire in
$y^('')+y^{\prime}+y=cos(5x)$ dovre troverò i valori di A e B
up
Scusa il ritardo nel risponderti
Si in pratica di $k_1$ e $k_2$ te ne fai poco. Io te li ho citati per affrontare il problema da un punto di vista più generale
Una volta che hai trovato in che forma deve essere il tuo integrale particolare, ne fai la derivata prima e seconda, sostituisci nella tua equazione iniziale e trovi i coefficienti $A$ e $B$ usando le condizioni iniziali
Si in pratica di $k_1$ e $k_2$ te ne fai poco. Io te li ho citati per affrontare il problema da un punto di vista più generale
Una volta che hai trovato in che forma deve essere il tuo integrale particolare, ne fai la derivata prima e seconda, sostituisci nella tua equazione iniziale e trovi i coefficienti $A$ e $B$ usando le condizioni iniziali
Non ti preoccupare pensavo che non avessi letto la rosposta....ok sei stato utilissimo, per i prossimi dubbi saprò a chi chiedere... 
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