Equazioni di secondo grado in campo complesso

[Meander]

Ciao, scusate è già il terzo topic che apro in tre settimane ma sono abbastanza in crisi (putroppo il nostro docente di analisi non si è preoccupato di terminare il programma a lezione).
Volevo sapere come risolvere questa equazione di secondo grado nel campo complesso:

$ z^2-2iz-1=0 $

Nel libro di testo c'è scritto che bisogna applicare la solita formula ma ottengo che il discriminante mi si annulla e dunque una soluzione unica (mentre il risultato corretto dovrebbe essere: z= 2+i; -2+i; -i ).
Grazie mille per l'attenzione, se sono stato poco chiaro non esitate a segnalarmelo

[Rigel1]

La tua equazione può essere riscritta come $(z-i)^2 = 0$; da qui è evidente la soluzione.
La cosa anomala del presunto risultato "corretto" è che piuttosto improbabile che un'equazione di secondo grado in campo complesso abbia tre soluzioni...

[Meander]

Ecco infatti non mi quadra la cosa. Tuttavia da come hai scritto l'equazione tu risulta che la soluzione dovrebbe essere z=i se non mi sbaglio. Il punto è proprio questo, un'equazione di grado n nel campo complesso non dovrebbe avere esattamente n soluzioni?
Perchè in entrambi i casi le soluzioni "cozzano" con questo teorema: infatti se nel risultato "corretto" (che credo anche io essere sbagliato) si hanno tre soluzioni, nel risultato da te postato ce ne dovrebbe essere una se non sbaglio......mentre teoricamente dovrebbero essere 2.....
che ne pensi? (comunque grazie per la risposta)

[Rigel1]

"Meander":Ecco infatti non mi quadra la cosa. Tuttavia da come hai scritto l'equazione tu risulta che la soluzione dovrebbe essere z=i se non mi sbaglio. Il punto è proprio questo, un'equazione di grado n nel campo complesso non dovrebbe avere esattamente n soluzioni?

Un'equazione di grado $n$ in campo complesso ha esattamente $n$ soluzioni, contate con la loro molteplicità.
Nel tuo caso la molteplicità di $z=i$ è, infatti, $2$.

[Meander]

Perfetto credo di aver capito! Grazie mille!