Equazioni con numeri complessi e modulo
Salve! Vi chiedo aiuto perchè non riesco per niente a risolvere questa tipologia di esercizi. In particolare
\[|z|z -2z + i = 0\]
Ho provato ad esplicitare il z ma comunque non riesco ad andare avanti. Vi sarei grato se mi deste qualche suggerimento a riguardo
\[|z|z -2z + i = 0\]
Ho provato ad esplicitare il z ma comunque non riesco ad andare avanti. Vi sarei grato se mi deste qualche suggerimento a riguardo
Risposte
Sicuramente non hai provato la rappresentazione trigonometrica.
Cioè devo provare a rappresentare l'equazione sul piano complesso?
Scrivi \(z=r e^{i\theta}\). Questa si chiama "rappresentazione trigonometrica" o "rappresentazione polare" o con nomi simili. Sicuramente la hai studiata.
ciao dissonance
ti sei confuso tra "trigonometrica" e esponenziale"?
ti sei confuso tra "trigonometrica" e esponenziale"?
@gio73
oltre a un gran saluto dopo tanto tempo e alla nostalgia per gli studi delle funzioni in due variabili, giusto un piccolo appunto
$e^(i \theta) = cos(\theta) + i sin (\theta)$
Poi se a quattro anni dalla laurea mi domandi come ci si arriva, penso che chiedo l'aiuto del pubblico.
oltre a un gran saluto dopo tanto tempo e alla nostalgia per gli studi delle funzioni in due variabili, giusto un piccolo appunto
$e^(i \theta) = cos(\theta) + i sin (\theta)$
Poi se a quattro anni dalla laurea mi domandi come ci si arriva, penso che chiedo l'aiuto del pubblico.
"Zero87":Ci è voluto Eulero per trovare quella formula, non è mica ovvia. Chiunque ha bisogno dell'aiuto del pubblico!
Poi se a quattro anni dalla laurea mi domandi come ci si arriva, penso che chiedo l'aiuto del pubblico.
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
"lorenzo211":
Ho provato ad esplicitare ...
Veramente, se procedi in forma algebrica:
$\{(x(sqrt(x^2+y^2)-2)=0),(ysqrt(x^2+y^2)-2y+1=0):} rarr$
$rarr \{(x=0),(y|y|-2y+1=0):} vv \{(sqrt(x^2+y^2)-2=0),(ysqrt(x^2+y^2)-2y+1=0):}$
ed essendo il secondo sistema manifestamente impossibile:
$\{(x=0),(y^2+2y-1=0 ^^ y lt= 0):} vv \{(x=0),(y^2-2y+1=0 ^^ y gt 0):} rarr$
$rarr \{(x=0),(y=-1-sqrt2):} vv \{(x=0),(y=1):}$
@Zero87
Ciao lorenzo211,
Benvenuto sul forum!
Si potrebbe anche ragionare così:
$|z|z - 2z + i = 0 \implies z(|z| - 2) = - i \implies z = frac{- i}{|z| - 2} \implies x + iy = frac{- i}{sqrt{x^2 + y^2} - 2} $
Ora il numero complesso a secondo membro è immaginario puro, per cui necessariamente deve essere $x = 0 $; inserendo tale valore di $x $ nell'altra equazione $y = frac{- 1}{sqrt{x^2 + y^2} - 2} $ si ha:
$y = frac{- 1}{|y| - 2} $
Se $y > 0 $ si trova $ y^2 - 2y + 1 = 0 \implies (y - 1)^2 = 0 \implies y_1 = 1 $;
se $y < 0 $ si trova $- y^2 - 2y + 1 = 0 \implies y^2 + 2y - 1 = 0 \implies y_3 = - 1 + sqrt{2} $ (inaccettabile perché non è $ < 0 $) e $y_2 = - 1 - sqrt{2} $
Ritroviamo così le due soluzioni già correttamente ottenute da Sergeant Elias:
$ z_1 = x_1 + iy_1 = 0 + i 1 = i $
$ z_2 = x_2 + iy_2 = 0 + i(- 1 - sqrt{2}) = - i(1 + sqrt{2}) $
Benvenuto sul forum!
Si potrebbe anche ragionare così:
$|z|z - 2z + i = 0 \implies z(|z| - 2) = - i \implies z = frac{- i}{|z| - 2} \implies x + iy = frac{- i}{sqrt{x^2 + y^2} - 2} $
Ora il numero complesso a secondo membro è immaginario puro, per cui necessariamente deve essere $x = 0 $; inserendo tale valore di $x $ nell'altra equazione $y = frac{- 1}{sqrt{x^2 + y^2} - 2} $ si ha:
$y = frac{- 1}{|y| - 2} $
Se $y > 0 $ si trova $ y^2 - 2y + 1 = 0 \implies (y - 1)^2 = 0 \implies y_1 = 1 $;
se $y < 0 $ si trova $- y^2 - 2y + 1 = 0 \implies y^2 + 2y - 1 = 0 \implies y_3 = - 1 + sqrt{2} $ (inaccettabile perché non è $ < 0 $) e $y_2 = - 1 - sqrt{2} $
Ritroviamo così le due soluzioni già correttamente ottenute da Sergeant Elias:
$ z_1 = x_1 + iy_1 = 0 + i 1 = i $
$ z_2 = x_2 + iy_2 = 0 + i(- 1 - sqrt{2}) = - i(1 + sqrt{2}) $
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