Equazioni con numeri complessi

[Cris961]

Salve ragazzi, devo risolvere questa equazione (z^2-i)(z^2+i) - $sqrt(3)$i =0
Sviluppando i passaggi sono arrivati a z^4 +1 - $sqrt(3)$ =0
Ora come continuo? Continuo a risolverla in questa forma o sarebbe meglio quella polare?

[Berationalgetreal]

Hai smarrito la $i$ della radice. Una volta sviluppato quel prodotto, l'equazione diventa

\[ z^4 + 1 - \sqrt{3} i = 0 \implies z^4 = \sqrt{3} i - 1 \]

Poniamo $ \lambda = z^2 \implies \lambda^2 = \sqrt{3} i - 1 \implies \lambda = \pm \sqrt{\sqrt{3}i - 1} $.

Tornando a $z$,

\[ z^2 = \pm \sqrt{\sqrt{3}i - 1} \]

Quindi le soluzioni sono:

\[ z_1 = \sqrt[4]{\sqrt{3}i - 1}, \ z_2 = - \sqrt[4]{\sqrt{3}i - 1}, \ z_3 = i \sqrt[4]{\sqrt{3}i - 1}, \ z_4 = - i \sqrt[4]{\sqrt{3}i - 1} \]

[Cris961]

Ah grazie mille, comunque perché in $z3$ e $z4$ hai messo una $i$ e $-i$ fuori dalla radice?

[Berationalgetreal]

Perchè $z_3, \ z_4$ sono soluzione di

\[ z^2 = - \sqrt{\sqrt{3}i -1} \implies z = \pm \sqrt{ - \sqrt{\sqrt{3}i -1}} = \pm \sqrt {-1} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{3}i -1} = \pm i \cdot \sqrt[4]{\sqrt{3}i -1} \]

[Palliit]

"Cris96":...sarebbe meglio quella polare?

Assolutamente sì.

$z^4=-1+isqrt(3)" "to" "z^4=2*(-1/2+isqrt(3)/2)=2*("cos"2/3pi+i"sin"2/3pi)" "$,

da cui passando alla forma esponenziale con: $z=rhoe^(i phi)$ hai:

[size=130]$rho^4*e^(4iphi)=2e^(2/3ipi)" "$[/size],

che fornisce: $rho^4=2" "$ e $" "4phi=2/3pi+2kpi" "to" "rho=" "^4sqrt(2)" "$ e $" "phi=pi/6+k pi/2$.