Equazioni con numeri complessi
Ciao a tutti,
studio informatica e avrei bisogno una mano in quanto non ho capito una piccola parte del programma dei numeri complessi di analisi 1: le EQUAZIONI!! Mi sono rifatto tutta la teoria di questa parte con relativi esempi presenti anche nel mio esercitario di analisi 1 ( Esercizi di analisi matematica 1 di Pierluigi Benevieri) e ho capito tutto (riesco a fare gli esercizi) tranne la parte delle equazioni. Il mio problema è che il libro su questa parte non aiuta e non fornisce un METODO per risolverle. Non so che fare, per questo vi chiedo aiuto. Purtroppo questa parte mi è capitata anche nell'ultimo esame di analisi e, naturalmente, non sono arrivato alla soluzione. Vi chiedo gentilmente una mano, giusto per capire come funziona il tutto...mi serve un metodo (se esiste) o qualche trucchetto!!
Gli esercizi sono di questo tipo:
$ z^4 + 3z^2 + 2 = 0 $
$ z^2 - 4z + 7 = 0 $
$ z^4 + 9z^2 = 0 $
$ z^2 - 8z + 17 = 0 $
$ z^2 + z(1 + 3i) - 10 + 10 i= 0 $
$ z^3 + 2z^2 - 6z = 0 $
Questi sono alcuni degli esercizi presenti nel mio libro. Non mi interessa farli tutti, ma CAPIRLI (non ho i compiti a casa...quindi non mi danno la nota!!
).
Spero in un vostro aiuto...
Grazie mille
P.s. A me all'esame è capitato un esercizio con l'esponente alla quarta...sarei interessato a uno svolgimento di quest'ultimo!! Ma forse prima bisognerebbe partire dalle basi con quelli al quadrato
studio informatica e avrei bisogno una mano in quanto non ho capito una piccola parte del programma dei numeri complessi di analisi 1: le EQUAZIONI!! Mi sono rifatto tutta la teoria di questa parte con relativi esempi presenti anche nel mio esercitario di analisi 1 ( Esercizi di analisi matematica 1 di Pierluigi Benevieri) e ho capito tutto (riesco a fare gli esercizi) tranne la parte delle equazioni. Il mio problema è che il libro su questa parte non aiuta e non fornisce un METODO per risolverle. Non so che fare, per questo vi chiedo aiuto. Purtroppo questa parte mi è capitata anche nell'ultimo esame di analisi e, naturalmente, non sono arrivato alla soluzione. Vi chiedo gentilmente una mano, giusto per capire come funziona il tutto...mi serve un metodo (se esiste) o qualche trucchetto!!
Gli esercizi sono di questo tipo:
$ z^4 + 3z^2 + 2 = 0 $
$ z^2 - 4z + 7 = 0 $
$ z^4 + 9z^2 = 0 $
$ z^2 - 8z + 17 = 0 $
$ z^2 + z(1 + 3i) - 10 + 10 i= 0 $
$ z^3 + 2z^2 - 6z = 0 $
Questi sono alcuni degli esercizi presenti nel mio libro. Non mi interessa farli tutti, ma CAPIRLI (non ho i compiti a casa...quindi non mi danno la nota!!
). Spero in un vostro aiuto...
Grazie mille
P.s. A me all'esame è capitato un esercizio con l'esponente alla quarta...sarei interessato a uno svolgimento di quest'ultimo!! Ma forse prima bisognerebbe partire dalle basi con quelli al quadrato
Risposte
ad esempio,$z^2-4z+7=0$ la risolvi come una qualsiasi equazione di 2° grado nel campo reale :quello che cambia è che puoi fare la radice anche se il delta è negativo
prova
prova
Ciao!
Innanzitutto grazie per la risposta. Il problema è anche quello del discriminante negativo...che si trova nell'equazione da te segnalata!! Se io riscontro un discriminante negativo, come mi mevo comportare?
Vale ancora poi la formula $ z1,2 = (-b+- radice delta)/(4a) $ ?
O no? Non mi è molto chiaro...visto che a lezione non mi hanno detto nulla e sul libro questa micro-parte è spiegata male...
Grazie e scusa le domande ma sono veramente ignornate in mate
Innanzitutto grazie per la risposta. Il problema è anche quello del discriminante negativo...che si trova nell'equazione da te segnalata!! Se io riscontro un discriminante negativo, come mi mevo comportare?
Vale ancora poi la formula $ z1,2 = (-b+- radice delta)/(4a) $ ?
O no? Non mi è molto chiaro...visto che a lezione non mi hanno detto nulla e sul libro questa micro-parte è spiegata male...
Grazie e scusa le domande ma sono veramente ignornate in mate
la formula è $z=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)$
nel nostro caso si ha $Delta=-12$
$sqrt(-12)=sqrt(-1) cdot sqrt(12)=+-icdot2sqrt3$
quindi la soluzione è $z=(4+-2sqrt(3)i)/2=2+-sqrt3i$
quindi tieni a mente questo :quando hai un numero negativo $a$ le sue 2 radici quadrate sono uguali a $+-i sqrt(-a)$
nel nostro caso si ha $Delta=-12$
$sqrt(-12)=sqrt(-1) cdot sqrt(12)=+-icdot2sqrt3$
quindi la soluzione è $z=(4+-2sqrt(3)i)/2=2+-sqrt3i$
quindi tieni a mente questo :quando hai un numero negativo $a$ le sue 2 radici quadrate sono uguali a $+-i sqrt(-a)$
Ahhhhhhhhhh, non pensavo si risolvesse cosi!!
In effetti ora ho fatto 2 esercizi con le tue indicazioni e sono venuti perfettamente...quindi ottimo! Purtroppo però non posso dire lo stesso delle equazioni di 4º grado...non mi vengono! Errori di calcolo o non vale lo stesso giochetto?
Es. $ z^4 + 3z^2 + 2 $
Io ho posto T (variabile) = z^2 ottenendo cosi un equazione di secondo grado. Il delta è >0 pertanto non posso fare lo stesso giochetto di prima (e cosi non mi esce la "i"). Inoltre, giusto per non farmi mancare nulla, al libro risultano 4 soluzioni distinte e a me solo 2 (tra l'altro sbagliate ). In questi casi come mi dovrei comportare?
Se delta fosse invece minore di 0 dovrei proseguire come fatto prima (con quanto detto da te insomma).
Scusa per le domande, ma mi devo togliere una volta per tutti questi orribili dubbi...la prossima volta l'esame lo vorrei passare!! XD
In effetti ora ho fatto 2 esercizi con le tue indicazioni e sono venuti perfettamente...quindi ottimo! Purtroppo però non posso dire lo stesso delle equazioni di 4º grado...non mi vengono! Errori di calcolo o non vale lo stesso giochetto?
Es. $ z^4 + 3z^2 + 2 $
Io ho posto T (variabile) = z^2 ottenendo cosi un equazione di secondo grado. Il delta è >0 pertanto non posso fare lo stesso giochetto di prima (e cosi non mi esce la "i"). Inoltre, giusto per non farmi mancare nulla, al libro risultano 4 soluzioni distinte e a me solo 2 (tra l'altro sbagliate
). In questi casi come mi dovrei comportare? Se delta fosse invece minore di 0 dovrei proseguire come fatto prima (con quanto detto da te insomma).
Scusa per le domande, ma mi devo togliere una volta per tutti questi orribili dubbi...la prossima volta l'esame lo vorrei passare!! XD
L'equazione $z^4+3z^2+2=0 $ con la sostituzione $z^2=t $ diventa $t^2+3t+2=0 $ che risolta fornisce le radici $t= z^2=-2 ;t=z^2=-1 $ e adesso otterrai le $i $ !!! e le quattro soluzioni come è giusto che sia da una equazione di quarto grado.
È venuta giusta! Avevo dimenticato di considerare alla fine che t=z^2...e che con i risultati negativi avrei ottenuto le i!! Ahahah proprio uno stordito! Alla fine sono riuscito a risolvere ben 8 equazioni complesse con risultati esatti. Ne sto cercando di risolvere altre 2 (le ultime presenti sul mio esercitario...cosi da avere un'idea globale più ampia) e mi trovo un attimo in crisi. Penso sia un problema per lo piu di calcolo, ma non vorrei invece sia qualche impostazione proprio sballata! XD
Es. $ z^2 + z(1+3i) -10 + 10 i = 0 $
Dopo un po' di conti (notare che mi viene un discriminante alquanto bizzarro) arrivo a una soluzione che è completamente cannata...boh! Roba strana! Mi sa che sbaglio qualcosina...XD
Idem nell'es. $ z^2 - 2iz -1 - 3i = 0 $
Non capisco...
Es. $ z^2 + z(1+3i) -10 + 10 i = 0 $
Dopo un po' di conti (notare che mi viene un discriminante alquanto bizzarro) arrivo a una soluzione che è completamente cannata...boh! Roba strana! Mi sa che sbaglio qualcosina...XD
Idem nell'es. $ z^2 - 2iz -1 - 3i = 0 $
Non capisco...
La seconda equazione ha le radici $z = i+-sqrt(3)sqrt(i) $
Adesso si tratta di trovare $sqrt(i)$ ma $i = e^(ipi/2) $ e quindi $sqrt(i)= e^(ipi/4); =e^(i3pi/4)$ che in forma trigonom,etrica sono, il primo $cos(pi/4)+isin (pi/4)= sqrt(2)/2+i*sqrt(2)/2 $ etc...
Oppure per cercare quanto vale $sqrt(i) $, non lo so !! ma dico che vale $a+ib $ e quindi $sqrt(i)= a+ib $ da cui : $ i=a^2-b^2 +2iab$ e pertanto
$a^2-b^2 =0 rarr a^2=b^2 $
$ 2ab=1 rarr a= 1/(2b) $ che sostituito nella prima equazione dà $ 1/(4b^2)= b^2 $ e poi $1/4 =b^4 $ ; attenzione $a,b $ sono numeri reali per cui $b^2= 1/2 rarr b=+-sqrt(2)/2$.
Adesso si tratta di trovare $sqrt(i)$ ma $i = e^(ipi/2) $ e quindi $sqrt(i)= e^(ipi/4); =e^(i3pi/4)$ che in forma trigonom,etrica sono, il primo $cos(pi/4)+isin (pi/4)= sqrt(2)/2+i*sqrt(2)/2 $ etc...
Oppure per cercare quanto vale $sqrt(i) $, non lo so !! ma dico che vale $a+ib $ e quindi $sqrt(i)= a+ib $ da cui : $ i=a^2-b^2 +2iab$ e pertanto
$a^2-b^2 =0 rarr a^2=b^2 $
$ 2ab=1 rarr a= 1/(2b) $ che sostituito nella prima equazione dà $ 1/(4b^2)= b^2 $ e poi $1/4 =b^4 $ ; attenzione $a,b $ sono numeri reali per cui $b^2= 1/2 rarr b=+-sqrt(2)/2$.
Ciao!
Scusa se ti rispondo solo ora, ma sono stato tutto il giorno in università...doe con il mio cellulare catorcio non sono riuscito a risponderti!! Lo faccio ora:
Ho rifatto la seconda equazione e in effetti ora viene. Io mi ero fermato alle radici trovate...non pensavo poi dovessi trovare √i
Tra l'altro questo metodo non lo conoscevo:
Mi sa che devo fare ancora un po' di allenamento...esercizi come questo mi mettono in ginocchio!! XD
Scusa se ti rispondo solo ora, ma sono stato tutto il giorno in università...doe con il mio cellulare catorcio non sono riuscito a risponderti!!
Lo faccio ora:Ho rifatto la seconda equazione e in effetti ora viene. Io mi ero fermato alle radici trovate...non pensavo poi dovessi trovare √i
Tra l'altro questo metodo non lo conoscevo:
"Camillo":
Adesso si tratta di trovare $sqrt(i)$ ma $i = e^(ipi/2) $ e quindi $sqrt(i)= e^(ipi/4); =e^(i3pi/4)$ che in forma trigonom,etrica sono, il primo $cos(pi/4)+isin (pi/4)= sqrt(2)/2+i*sqrt(2)/2 $ etc...
Mi sa che devo fare ancora un po' di allenamento...esercizi come questo mi mettono in ginocchio!! XD
scusa camillo, anch'io ho qualche dubbio riguardo alla forma esponenziale, colgo l'occasione per chiedere qui, se fosse la sezione sbagliata prego di scusarmi e vi invito a cancellare il messaggio.
Tornando alla mia domanda: $ i=e^(ipi/2) $ è una definizione che deriva dalle formule di Eulero?
Ma per quale motivo è proprio $ pi/2 $? Non potrebbe essere un valore diverso?
Tornando alla mia domanda: $ i=e^(ipi/2) $ è una definizione che deriva dalle formule di Eulero?
Ma per quale motivo è proprio $ pi/2 $? Non potrebbe essere un valore diverso?
in generale,$z=rhoe^(itheta)$ significa $z=rho(cos theta + i sen theta)$
quindi,$e^(ipi/2)=cos (pi/2)+isenpi/2=i$
quindi,$e^(ipi/2)=cos (pi/2)+isenpi/2=i$
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