Equazioni con numeri complessi

[yleniatrischele]

Buongiorno a tutti, sono nuova del forum, volevo chiedervi supporto nella risoluzione di questo esercizio allegato. Ho provato a risolverlo esplicitando le z e le coniugate attraverso la relazione z=x+iy e z coniugato=x-iy e con |z|=sqrt(x^2+y^2) per poi risolvere un sistema in cui ho isolato i coefficienti contenenti la i e i coefficienti senza la i. Tuttavia mi viene fuori un sistema di difficile soluzione che raggiunge anche il sesto grado. Mi consigliate un altra via per risolvere queste tipologie di equazioni? vi ringrazio in anticipo e scusate la forma errata cercherò di migliorare.

[gio73]

Ciao Ylenia e benvenuta sul forum
riscrivo l'equazione con i codici, molti utenti potrebbero non risponderti semplicemente perché non aprono l'immagine

$z|z|^2+|z|\bar(z)^2-\barzz^2=i$

[Camillo]

Sembra conveniente passare alla forma polare dei numeri complessi , ponendo cioè $ z = rho*e^(i theta ) $ da cui $|z|= rho $ e anche $bar z =rho*e^(-i theta) $ etc.

[hyoukarou]

Ciao, i numeri complessi possono essere scritti in coordinate cartesiane o in coordinate polari. Perché usare solo le prime? (Prova scrivendo \(z = r e^{i \theta}\)).

Edit.
preceduto sul momento, sorry.

[yleniatrischele]

vi ringrazio! ma una volta operate le sostituzioni e scritta la forma polare come procedo? se potete scrivermi il procedimento magari lo comprendo meglio anche per le altre equazioni se questo metodo si può riutilizzare sempre in equazioni di questo tipo

[hyoukarou]

Usando le proprietà scritte da Camillo l'equazione diventa \(r^3 e^{i \theta} + r^3 e^{- i 2\theta} - r^3 e^{-i \theta + i 2 \theta} = i\)
noti che il primo e il terzo termine sono uguali quindi si elidono, ora il modulo di \(i\) è \(1\) e l'argomento \(\dfrac{\pi}{2}\), quindi \(r^3 = 1\), \(- 2\theta = \dfrac{\pi}{2}\), risolvi e sostituisci all'espressione iniziale di \(z\).

Semplice e lineare

[Camillo]

Per completezza va considerato $ -2*theta = pi/2+2kpi $ con $ k =0,1 $