Equazioni con i numeri complessi

[notaro1]

Ho l'equazione

$z^3 -(2+i)z^2 + 2(1+i)z + a = 0$

La consegna è:
1- Determinare $a$ t.c. $z=i$ sia soluzione.
2- Per tale valore di $a$ determinare tutte le radici dell'equazione.

Il primo punto è facile, basta sostituire e si ottiene $a=2i$.
A questo punto, essendo $z=i$ soluzione posso scrivere:
$(z-i)(z^2 - 2z + 2) + 4i=0$

dove ho effettuato una semplice divisione tra polinomi (con resto $4i$).
Qui mi sono bloccato, perché pur trovando le soluzioni della seconda parentisi ($1 +- i$) non so come ricavarne quelle totali.

[gugo82]

Guarda che se [tex]$z=\imath$[/tex] è soluzione dell'equazione, allora devi poter scrivere il tuo polinomio [tex]$p(z)$[/tex] come [tex]$(z-\imath)\ q(z)$[/tex], ossia la divisione del polinomio [tex]$p(z)$[/tex] per [tex]$z-\imath$[/tex] deve dare resto [tex]$0$[/tex].

[ciampax]

@notaro: attento ai calcoli. $a=-2i$.

[notaro1]

Grazie a entrambi.
Comunque anche in questo caso pur essendo il resto nullo, le tre soluzioni ($i, 1+i, 1-i$) non sono corrette stando a Wolfram.
Magari sto ancora sbagliando i calcoli perdonatemi...

[ciampax]

Se $a=-2i$ il polinomio scomposto risulta $(z-i)(z^2-2z+2)$ e le radici dell'equazione di secondo grado sono

[tex]$z_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm2i}{2}=1\pm i$[/tex]

[notaro1]

A ok come dicevo io, sbagliavo solo a scrivere ancora il polinomio con $+2i$ sul calcolatore.

Grazie mille.