Equazioni con i numeri complessi

[No_Rules1]

Ragazzi ho problemi con lo svolgimento di equazioni nel campo complesso.
Il ragionamento lo conosco, solo che in alcuni casi non riesco ad arrivare alla soluzione. Vi metto un esercizio solo per fare un esempio, non voglio che mi risolviate i compiti a casa, solo che mi diate un imbeccata per trovare da solo la soluzione e nel caso che correggiate eventuali errori di ragionamento...Grazie

$ -4z^2 + z|z|^2 = 0 $

Sostituendo come mi è stato insegnato $ z = x + iy $ , la situazione finale è di questo genere:

$ x^3 - 4x^2 + xy^2 + 4y^2 + i(2xy + x^2y + y^3 )= 0 $

che per trovare le soluzioni si trascrive nel sistema:

$ { ( x^3 - 4x^2 + xy^2 + 4y^2 = 0 ),( 2xy + x^2y + y^3 = 0 ):} $

Ora il mio problema in questo come negli altri esercizi è: Come faccio a risolvere una situazione di questo genere, visto che si presentano termini di 3° grado? E se risolvo le equazioni come scrivo poi le soluzioni?

Spero di essere stato chiaro, non dovrebbe essere un esercizio poi così difficile per voi...Grazie

[K.Lomax]

Non sarebbe più semplice vederla così

[tex]z(|z|^2-4z)=0[/tex]

?

[No_Rules1]

"K.Lomax":Non sarebbe più semplice vederla così

[tex]z(|z|^2-4z)=0[/tex]

?

Ok, scusa, ma tutti gli es di questi giorni mi hanno offuscato la mente

Comunque in tal caso avrei la prima soluzione che è ovviamente $ z = 0 $

E dalla parentesi verrebbe fuori un sistema di questo genere:

$ { ( x^2 + y^2 -4x = 0 ),( -4y = 0 ):} $

Quindi penso dalla seconda equazione si evinca che $ y = 0 $
e dalla prima $ x(x - 4) = 0 $ quindi $ x = 0 $ e $ x = 4 $

Il punto è, come nella mia richiesta precedente, che una volta raggiunto questo risultato, non so come scrivere poi la soluzione che dovrebbe essere un altro valore di z?

Scusate ma sui libri non ho trovato esempi di questa difficoltà e a giorni ho l'esame di analisi uno, in cui ci sarà per forza un esercizio nel campo complesso, argomento che in genere viene sviluppato in massimo 2 lezioni dai prof di analisi...
Grazie per la risposta

EDIT: ho trovato, la seconda soluzione è $ z = 4 $

Grazie per la dritta, spero di essere stato fedele al regolamento nel chiedere aiuto

[Camillo]

Certo la seconda soluzione è $z=4 $ ; quando arrivi ad avere l'equazione $ |z|^2-4z =0 $ da cui $|z|^2= 4z $ si deduce subito che $z $ è un numero reale ( perchè deve eguagliare un modulo , che è reale) e quindi puoi dire che $x^2-4x=0 $ da cui $x=0 $ e $x=4$.