Equazioni con i numeri complessi
Ciao ho bisogno di aiuto per risolvere questa equazione, ho bisogno di capire bene come si procede nello svolgimento dell'esercizio perchè questo tipo di esercizio è molto frequente fra le tracce d'esame, l'esercizio è:
Risolvere l'equazione nell'incognita z, numero complesso $ (2z^4+sqrt3i)(3z^3-3i)=0 $
Ho pensato di risolverle separatamente
$ 2z^4+sqrt3i=0 $
$ 3z^3 - 3i=0 $
E precisamente così (mi soffermo sulla prima che ho scritto):
$ z^4 = sqrt3/2i $
arrivata a questo punto ho pensato di trovare le radici quarte di z mediante la formula generale:
$ z= nsqrtrho(cos(theta/n+2k/npi) +isen(theta/n+2k/npi)) $
Per fare questo risulta necessario scrivere $ z^4 = sqrt3/2i $ in forma trigonometrica mediante questa formula:
$ z=rho(a^2/sqrt(a
^2+b^2)+i b^2/sqrt(a
^2+b^2)) $
$ rho= |z|= sqrt (a^2 +b^2) =sqrt(0^2 + (-sqrt3/2)^2) = sqrt( 3/4 $
$ cos theta=a^2/(sqrt(a^2+b^2))= 0 $
$ sen theta =b^2/(sqrt(a^2+b^2))= (- sqrt3/2) ^2/sqrt(0^2+(- sqrt3/2)^2)= (3/4)/sqrt(3/4 )= $
arrivata qui proprio non so che fare ho provato ad andare avanti ma inutilmente, il risultato del seno è un punto interrogativo e anche il resto non mi convince. Ho sbagliato tutto sin dall'inizio? Sbaglio a considerare la a = 0? Ho sbagliato calcoli che si dovrebbero fare senza problemi?...vi prego aiuto
Risolvere l'equazione nell'incognita z, numero complesso $ (2z^4+sqrt3i)(3z^3-3i)=0 $
Ho pensato di risolverle separatamente
$ 2z^4+sqrt3i=0 $
$ 3z^3 - 3i=0 $
E precisamente così (mi soffermo sulla prima che ho scritto):
$ z^4 = sqrt3/2i $
arrivata a questo punto ho pensato di trovare le radici quarte di z mediante la formula generale:
$ z= nsqrtrho(cos(theta/n+2k/npi) +isen(theta/n+2k/npi)) $
Per fare questo risulta necessario scrivere $ z^4 = sqrt3/2i $ in forma trigonometrica mediante questa formula:
$ z=rho(a^2/sqrt(a
^2+b^2)+i b^2/sqrt(a
^2+b^2)) $
$ rho= |z|= sqrt (a^2 +b^2) =sqrt(0^2 + (-sqrt3/2)^2) = sqrt( 3/4 $
$ cos theta=a^2/(sqrt(a^2+b^2))= 0 $
$ sen theta =b^2/(sqrt(a^2+b^2))= (- sqrt3/2) ^2/sqrt(0^2+(- sqrt3/2)^2)= (3/4)/sqrt(3/4 )= $
arrivata qui proprio non so che fare ho provato ad andare avanti ma inutilmente, il risultato del seno è un punto interrogativo e anche il resto non mi convince. Ho sbagliato tutto sin dall'inizio? Sbaglio a considerare la a = 0? Ho sbagliato calcoli che si dovrebbero fare senza problemi?...vi prego aiuto
Risposte
Il numero complesso è del tipo $z=0+bi$, quindi un numero immaginario puro, che se disegnato, si pone sulla parte positiva dell'asse $y$. Pertanto $\theta=\pi/2$. E comunque, nella formula che hai scritto, a numeratore non ci vanno i quadrati di $a,b$, ma solo $a,b$.
OT
[ot]Mannaggia, m'ha anticipato ciampax - che saluto
- è un peccato non rispondere ad un utente che ha come nick una supergigante...
Inoltre se non ricordo male c'è anche Cygnus X1 che ha postato qualcosa qualche giorno fa.[/ot]
Dato che è il tuo primo messaggio, benvenuta al forum e buona permanenza.
[ot]Mannaggia, m'ha anticipato ciampax - che saluto
- è un peccato non rispondere ad un utente che ha come nick una supergigante...Inoltre se non ricordo male c'è anche Cygnus X1 che ha postato qualcosa qualche giorno fa.[/ot]
Dato che è il tuo primo messaggio, benvenuta al forum e buona permanenza.
Ok grazie mille e grazie per avermi fatto notar l'errore nella formula, altrimenti avrei continuato a scriverla così a vita. Ho provato a risolvere l'esercizio ma mi sono sorti altri dubbi ripartendo dalla formula per ottenere le radici di $ z^4= -sqrt3/2 $
$ z= nsqrtrho(cos(theta/n+2k/npi) +isen(theta/n+2k/npi)) $
dal momento che l'angolo è $ theta=pi/2 $
ottengo quattro soluzioni di queste scrivo solo la prima soluzione per non scrivere troppa roba:
$ z= 4sqrt(3/4)(cos (pi/8) +isen(pi/8))= $
come faccio a determinare una soluzione arrivata qui visto che $ pi/8 $ no è un'angolo noto (ed ha coseno √2 – √2 / 2 e seno √2 – √2 / 2) non penso di potermi fermare alla soluzione che ho scritto in quella forma perchè l'esercizio mi chiede anche di rappresentare graficamente le soluzioni le soluzioni. heeeelp!
Infine vorrei sapere alla fine dopo averle risolte tutte e due (sperando di riuscirci) separatamente i risultati che ho avuto dall'una e dall'altra mi basta solo metterli insieme giusto? In brve ad esempio se dalla prima ho z=1 z=2 z=3 z=4 e dalla seconda z=6 z=7 e z=8 le soluzioni dell'intera equazione da rappresentare sono tutte dall'1 all'8?
$ z= nsqrtrho(cos(theta/n+2k/npi) +isen(theta/n+2k/npi)) $
dal momento che l'angolo è $ theta=pi/2 $
ottengo quattro soluzioni di queste scrivo solo la prima soluzione per non scrivere troppa roba:
$ z= 4sqrt(3/4)(cos (pi/8) +isen(pi/8))= $
come faccio a determinare una soluzione arrivata qui visto che $ pi/8 $ no è un'angolo noto (ed ha coseno √2 – √2 / 2 e seno √2 – √2 / 2) non penso di potermi fermare alla soluzione che ho scritto in quella forma perchè l'esercizio mi chiede anche di rappresentare graficamente le soluzioni le soluzioni. heeeelp!
Infine vorrei sapere alla fine dopo averle risolte tutte e due (sperando di riuscirci) separatamente i risultati che ho avuto dall'una e dall'altra mi basta solo metterli insieme giusto? In brve ad esempio se dalla prima ho z=1 z=2 z=3 z=4 e dalla seconda z=6 z=7 e z=8 le soluzioni dell'intera equazione da rappresentare sono tutte dall'1 all'8?
"DenebCygni":
$ z= 4sqrt(3/4)(cos (pi/8) +isen(pi/8))= $
come faccio a determinare una soluzione arrivata qui visto che $ pi/8 $ no è un'angolo noto (ed ha coseno √2 – √2 / 2 e seno √2 – √2 / 2)
Trovi i valori con la formula per la bisezione di seno e coseno (in pratica esprimi $cos(\alpha/2)$ in funzione di $cos(\alpha)$ e idem per il seno): $\pi/4$ è un angolo noto e basta partire da quello.
EDIT
Avevo letto male la formula. Se ti interessa, scrivendo
\root(n)(\rho)
tra simboli di dollaro ottieni
$\root(n)(\rho)$.
Ho capito dopo che con $n \sqrt(\rho)$ intendevi la radice ennesima: sorry...!
ok grazie mille 
per ora tutto chiaro spero non mi vengano altri dubbi
per ora tutto chiaro spero non mi vengano altri dubbi
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