Equazioni complesse secondo grado con c diverso da zero
Ogni volta che affronto equazioni complesse di secondo grado con $c != 0$ trovo parecchi problemi... Equazioni tipo:
$2z^2 + 2(sqrt(3) +3i)z -1 +sqrt(3)i = 0$
oppure
$z^2 +2sqrt(2)iz -1-i=0$
mi portano sempre su strade senza uscita... Ho provato a sostituire $z=a+ib$ e sviluppando i quadrati e risolvendo le due equazioni risultanti, ma poi non riuscivo a far saltar fuori i risultati(che ho)...
Come risolvereste voi queste due equazioni? Esiste un metodo generale più semplice del sostituire z e poi risolvere le due equazioni?
$2z^2 + 2(sqrt(3) +3i)z -1 +sqrt(3)i = 0$
oppure
$z^2 +2sqrt(2)iz -1-i=0$
mi portano sempre su strade senza uscita... Ho provato a sostituire $z=a+ib$ e sviluppando i quadrati e risolvendo le due equazioni risultanti, ma poi non riuscivo a far saltar fuori i risultati(che ho)...
Come risolvereste voi queste due equazioni? Esiste un metodo generale più semplice del sostituire z e poi risolvere le due equazioni?
Risposte
Le equazioni in questa forma si possono risolvere come equazioni di secondo grado in $z$, tieni presente solo che nella formula devi calcolare la radice di un numero complesso
La formula è sempre quella (quasi):
$z_(1,2)= (-b+\sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
Con la sola accortezza che la radice quadrata in campo complesso da SEMPRE due soluzioni. Per questo non c'è il $\pm$ davanti alla radice.
Esempio:
$z^2+2\sqrt2 iz−1−i=0$
Metto il tutto nella formula:
$(-2\sqrt2i+\sqrt((2\sqrt2i)^2-4(-1-i)))/(2)=-\sqrt2i + (\sqrt(-8+4+4i))/(2)= -\sqrt2i + \sqrt(-1+i)$
$z_(1,2)= (-b+\sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
Con la sola accortezza che la radice quadrata in campo complesso da SEMPRE due soluzioni. Per questo non c'è il $\pm$ davanti alla radice.
Esempio:
$z^2+2\sqrt2 iz−1−i=0$
Metto il tutto nella formula:
$(-2\sqrt2i+\sqrt((2\sqrt2i)^2-4(-1-i)))/(2)=-\sqrt2i + (\sqrt(-8+4+4i))/(2)= -\sqrt2i + \sqrt(-1+i)$
Ok, adesso ho capito... Infatti i risultati tornano usando la formula con il solo più... Però poi ho provato a risolvere normalmente con il $+-$
$-1+i=sqrt(2)e^(3/4 pi) ->sqrt(-1+i) = 2^(1/4)e^(3/8 pi)$
$z_(1,2)=-sqrt(2)i +- 2^(1/4)e^(3/8 pi)$ che sono esattamente le due soluzioni che ho come risultato scritte però in forma unica(cioè con il $*+-$)
E' possibile risolvere sempre così oppure ho sbagliato ma per pura coincidenza è uscito un risultato esatto???
$-1+i=sqrt(2)e^(3/4 pi) ->sqrt(-1+i) = 2^(1/4)e^(3/8 pi)$
$z_(1,2)=-sqrt(2)i +- 2^(1/4)e^(3/8 pi)$ che sono esattamente le due soluzioni che ho come risultato scritte però in forma unica(cioè con il $*+-$)
E' possibile risolvere sempre così oppure ho sbagliato ma per pura coincidenza è uscito un risultato esatto???
non c'è un metodo predefinito per risolvere le equazioni di secondo grado (o superiore) con i numeri complessi. Alcune volte è più semplice trattarla come equazione nell'incognita $z\in \mathbb{C}$, altre invece bisogna fare la sostituzione $z=x+iy$, e altre invece bisogna ridursi alla forma esponenziale. Ma dipende dall'equazione che hai di fronte.
Comunque in linea generale quando hai a che fare con equazioni di questo tipo $az^2+bz+c=0$ la formula è
\[\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Al numeratore è scritto $-b+\sqrt(\Delta)$, e non $-b\pm \sqrt(\Delta)$, perchè essendo ambientata in $\mathbb{C}$, il simbolo $\sqrt()$, già contiene i 2 valori..
ah se invece la forma è così $az^2+2\beta z+c=0$, si usa formula ridotta $z_{1,2}=(-b+sqrt(\beta^2-ac))/(a)$
Comunque in linea generale quando hai a che fare con equazioni di questo tipo $az^2+bz+c=0$ la formula è
\[\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Al numeratore è scritto $-b+\sqrt(\Delta)$, e non $-b\pm \sqrt(\Delta)$, perchè essendo ambientata in $\mathbb{C}$, il simbolo $\sqrt()$, già contiene i 2 valori..
ah se invece la forma è così $az^2+2\beta z+c=0$, si usa formula ridotta $z_{1,2}=(-b+sqrt(\beta^2-ac))/(a)$
"Mito125":
E' possibile risolvere sempre così oppure ho sbagliato ma per pura coincidenza è uscito un risultato esatto???
E' sempre possibile.
Usare il $\pm$ oppure "trovare le due radici quadrate" è la stessa cosa perchè le due radici sono sempre una opposta all'altra nel piano complesso (rispetto all'origine) cioè una è il "negativo" di quell'altra.
Allora ok, preferisco trovare una sola radice e poi metterci il più e meno(così ho direttamente un solo risultato con un angolo più piccolo e meno fastidioso di solito)...
Penso di aver superato il mio dubbio... Grazie a tutti
Penso di aver superato il mio dubbio... Grazie a tutti
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