Equazioni complesse di grado superiore al secondo
Salve a tutti, ho un dubbio sulla procedura di risoluzione di queste equazioni complesse:
$ z^6-z^3+1=0 $
L'ho risolta ponendo $w=z^3$ ottenendo quindi un'equazione di secondo grado le cui soluzioni sono $ 1/2 \pm i sqrt(3)/2 $ e quindi, ritornando a $ z $ avrei $ z=(root(3) ( 1/2 \pm i sqrt(3)/2))$. A questo punto ho trovato le 3 radici di $ z $ nel caso in cui la parte immaginaria è positiva e 3 nel caso in cui è negativa, in modo da avere complessivamente 6 soluzioni. E' corretto come procedimento? Nel caso lo fosse, avrei voluto fare la stessa cosa con quest'altra equazione: $ z^4-2(1+i)z^2+4i=0$ con $w=z^2$ ma ottengo come soluzioni $ z=sqrt((1+i) \pm (root(4)(-1))) $ e non riesco a capire quale sia la parte immaginaria e quale quella reale per trovare le radici di z.
Grazie anticipatamente!
$ z^6-z^3+1=0 $
L'ho risolta ponendo $w=z^3$ ottenendo quindi un'equazione di secondo grado le cui soluzioni sono $ 1/2 \pm i sqrt(3)/2 $ e quindi, ritornando a $ z $ avrei $ z=(root(3) ( 1/2 \pm i sqrt(3)/2))$. A questo punto ho trovato le 3 radici di $ z $ nel caso in cui la parte immaginaria è positiva e 3 nel caso in cui è negativa, in modo da avere complessivamente 6 soluzioni. E' corretto come procedimento? Nel caso lo fosse, avrei voluto fare la stessa cosa con quest'altra equazione: $ z^4-2(1+i)z^2+4i=0$ con $w=z^2$ ma ottengo come soluzioni $ z=sqrt((1+i) \pm (root(4)(-1))) $ e non riesco a capire quale sia la parte immaginaria e quale quella reale per trovare le radici di z.
Grazie anticipatamente!
Risposte
"St3llinaVanillina":
E' corretto come procedimento?
Personalmente non me ne viene in mente un altro.
"St3llinaVanillina":
ottengo come soluzioni [...]
Premetto che a quest'ora il sonno mi può rinc...retinire, ma sei sicura dei tuoi calcoli?
Prendi la formula ridotta (considerando la $w$), ottieni
$w_(1,2) = -b/2 \pm \sqrt{b^2/4 - ac}$
nel nostro caso
$w_(1,2) = 1+i \pm \sqrt{(1+i)^2 - 4i}= 1+i \pm \sqrt{1-1+2i-4i}= 1+i \pm \sqrt {2i}$
... non capisco la radice quarta (poi comunque puoi direttamente calcolare le due $w$ per estrarre in seguito le radici passando a $z$).
PS.
Spero che non ho fatto errori di calcolo ovviamente
oddio che stupida, hai ragione, è $sqrt(2i)$ 
la cosa che non riesco a capire, è se a questo punto devo andare a cercare le radici di $z=sqrt((1+i) \pm sqrt(2i))$ o semplicemente solo le radici di $sqrt(2i)$..
PS: grazie per aver risposto nonostante l'ora
la cosa che non riesco a capire, è se a questo punto devo andare a cercare le radici di $z=sqrt((1+i) \pm sqrt(2i))$ o semplicemente solo le radici di $sqrt(2i)$..
PS: grazie per aver risposto nonostante l'ora
"St3llinaVanillina":
oddio che stupida, hai ragione, è $sqrt(2i)$
Non preoccuparti, capitano le sviste... peccato che durante compiti in classe/esami scritti i professori non siano tanto comprensivi a riguardo (anche se è giusto così
)."St3llinaVanillina":
la cosa che non riesco a capire, è se a questo punto devo andare a cercare le radici di $z=sqrt((1+i) \pm sqrt(2i))$ o semplicemente solo le radici di $sqrt(2i)$..
Personalmente inizierei calcolando $\sqrt(2i)$, usando magari - a naso mi sembra migliore - la forma trigonometrica. Ovviamente dovrebbero venirne fuori 2 di radici, quindi 4 opzioni differenti in tutto considerando il $\pm$, ma 2 di esse dovrebbero proprio essere ridondanti a causa del già citato $\pm$.
Una volta calcolati i $\sqrt(2i)$, come detto li sostituirei per poi andare avanti, tutto qua...
"St3llinaVanillina":
PS: grazie per aver risposto nonostante l'ora
Di nulla... notte forum
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