Equazioni complesse
Come si risolve la seguente equazione: e^2z - 4e^z + 5= 0
Ho trovato che le radici sono: e^z= 2+i,2-i. Ma come si continua?
Ho trovato che le radici sono: e^z= 2+i,2-i. Ma come si continua?
Risposte
$e^{z}=2+i \implies z=\log(2+i)\$ dove $\log\$ è il logaritmo complesso. Continua tu.
Ho pensato e ripensato, devo utilizzare la formula: logz = logRHO + iTHETA ? Ma come la applico? Ma in pratica in quella equazione devo determinare quanto vale "z" o e^z? Grazie per il supporto.
Ciao, per prima cosa ti prego di usare i compilatori di formule per scrivere, altrimenti è davvero difficile capire cosa dici.
Come seconda cosa, se non conosci i dettagli del logaritmo complesso, puoi riscrivere \(e^z\) come \(e^{a + ib} = e^a e^{ib} = \rho e^{ib}\) e poi mettere \(2 + i\) in forma esponenziale.
Da lì dovresti riuscire a risolvere l'equazione.
Come seconda cosa, se non conosci i dettagli del logaritmo complesso, puoi riscrivere \(e^z\) come \(e^{a + ib} = e^a e^{ib} = \rho e^{ib}\) e poi mettere \(2 + i\) in forma esponenziale.
Da lì dovresti riuscire a risolvere l'equazione.
"Skyrim":
Ho pensato e ripensato, devo utilizzare la formula: logz = logRHO + iTHETA ? Ma come la applico? Ma in pratica in quella equazione devo determinare quanto vale "z" o e^z? Grazie per il supporto.
Ovviamente devi determinare le soluzioni, cioé devi trovare i valori di $z$ che risolvono l'equazione. Per quanto riguarda il logaritmo complesso, la formula $\log z=\ln \rho + i (\theta + 2k\pi)$ è giusta. Devi quindi determinare $\rho$ e $\theta$ relativi alle soluzioni che hai trovato prima.
Ok, usando la formula logz=lnρ+i(θ+2kπ), con la soluzione 2+i ottengo che logz = log2+i, con la soluzione 2-i ottengo che logz = log2-i e quindi z nel primo caso vale 2+$e^i$, nel secondo caso z viene 2+$e^-i$.
Quello che scrivi non ha molto senso. Come ti ho scritto prima devi determinare $\rho$ e $\theta$. Per esempio, prendiamo $2+i$, quali sono $\rho$ e $\theta$?
Per 2+i, ρ = $sqrt(5)$ e io sò che tgθ=1/2 e quindi θ= arctg(1/2). Ma come continuo?
Adesso calcoli il logaritmo compesso della soluzione così espressa ed ha finito (devi fare la stessa cosa per entrambe le soluzioni).
Quindi ottengo che z = log$sqrt(5)$ + i*arctg(1/2)
Non dimenticare che l'argomento è periodico:
$z=\ln \sqrt{5} + i(\arctan(1/2)+2k\pi)$
$z=\ln \sqrt{5} + i(\arctan(1/2)+2k\pi)$
Grazie del supporto offertomi
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