Equazioni complesse

[studentessa CdLmate]

Ciao a tutti.. non riesco a capire come possa questa equazione: $ z^3=|z|^2 $.. ad avere $ z= -1/2\pmi(sqrt(3)/2)$ come soluzione oltre a $z= 0 $ e $z=1$!!

Inoltre ve ne sarei grata se mi chiarite anche i passaggi di quest'altra equazione: $z^2+isqrt(5)|z|+6=0$

Grazie mille per l'aiuto!!

[Gi81]

Per la prima, conviene scrivere $z$ come $a+ib$, con ovviamente $a,b in RR$
L'equazione diventa $(a+ib)^3=a^2+b^2$. Penso che ora riuscirai a risolvere

[Giuly191]

Secondo me invece si fa molto prima in forma esponenziale: $ rho^3 e ^ (i3 theta) = rho^2 => rho e^ (i3 theta) = 1 = e^ (i 2 pi) $. ($rho != 0$)

[studentessa CdLmate]

Grazie a tutti ci sono riuscita finalmente!! nn riesco a fare la seconda però xD

[Gi81]

Anche in quel caso consiglio di scrivere $z$ come $a+ib$. Hai che $z^2=(a^2-b^2)+2iab$ e $|z|=sqrt(a^2+b^2)$
Vengono fuori dei calcoli non proprio immediati, ma dovresti saltarci fuori

[studentessa CdLmate]

Facendo in questo modo mi ritrovo $ a^2 -b^2+2iab+6=-isqrt(5(a^2+b^2))$ e quindi il sistema $ { ( a^2-b^2+6=0 ),( 2ab=-sqrt(5(a^2+b^2)) ):} $ e facendo i conti mi viene $ { ( 4a^2b^2-5a^2-5b^2=0 ),( a^2=b^2 -6 ):} $ e da qui mi sono trovata $b^2=15/2$ e$ b^2=1$ quindi $a^2=3/2 $ e $a^2=-5$ però poi??

[Gi81]

"studentessa CdLmate":... quindi il sistema $ { ( a^2-b^2+6=0 ),( 2ab=-sqrt(5(a^2+b^2)) ):} $

La seconda equazione ci dice che deve essere $ab<0$
Tutti i conti che hai fatto sono corretti. Ti ricordo che $a$ e $b$ sono numeri reali.
Il sistema ${(b^2=1),(a^2 = -5):}$ non ha ovviamente soluzioni, mentre ${(a^2=3/2),(b^2=15/2):}$ ne ha 4,di cui solo due accettabili (perchè $ab<0$)

[studentessa CdLmate]

Grazie mille davvero Gi8!! ti ringrazio per la pazienza!!