Equazioni complesse
Ciao a tutti
in questi giorni mi sto cimentando con le equazioni in campo complesso e mi sono trovato davanti ad alcune con quali mi trovo bloccato
la prima è
$z^3 -|z| + z bar(z) = 0$
ovviamente $z=0$ è una delle soluzioni
ho poi pensato di dividere tutto per $z$ ottenendo
$z^2 - |z|/z+bar(z)=0$
ma non mi porta da nessuna parte
ho anche pensato di sostituire $z bar(z) = |z|^2$ ma anche in questo caso poi non so come procedere
qualcuno mi potrebbe dare un suggerimento?
la seconda invece è
$|z-bar(z)| = |z+i|$
qui ho pensato di sostituire subito $z=x+iy$ quindi
$|x+iy-x+iy| = |x+iy+i|$
$|2yi| = |x+i(y+1)|$
ora calcolo i due moduli
$|2yi| = 2y$
$|x+i(y+1)| = sqrt(x^2 + (y+1)^2) = sqrt(x^2 + y^2 + 2y+1)$
eguaglio e elevo tutto al quadrato
$4y^2 = x^2 + y^2 + 2y+1 ->3y^2 - 2y= x^2 +1 $
a questo punto non so più andare avanti, ne so se sono sulla strada giusta
Qualcuno mi può suggerire come proseguire?
grazie mille a tutti
in questi giorni mi sto cimentando con le equazioni in campo complesso e mi sono trovato davanti ad alcune con quali mi trovo bloccato
la prima è
$z^3 -|z| + z bar(z) = 0$
ovviamente $z=0$ è una delle soluzioni
ho poi pensato di dividere tutto per $z$ ottenendo
$z^2 - |z|/z+bar(z)=0$
ma non mi porta da nessuna parte
ho anche pensato di sostituire $z bar(z) = |z|^2$ ma anche in questo caso poi non so come procedere
qualcuno mi potrebbe dare un suggerimento?
la seconda invece è
$|z-bar(z)| = |z+i|$
qui ho pensato di sostituire subito $z=x+iy$ quindi
$|x+iy-x+iy| = |x+iy+i|$
$|2yi| = |x+i(y+1)|$
ora calcolo i due moduli
$|2yi| = 2y$
$|x+i(y+1)| = sqrt(x^2 + (y+1)^2) = sqrt(x^2 + y^2 + 2y+1)$
eguaglio e elevo tutto al quadrato
$4y^2 = x^2 + y^2 + 2y+1 ->3y^2 - 2y= x^2 +1 $
a questo punto non so più andare avanti, ne so se sono sulla strada giusta
Qualcuno mi può suggerire come proseguire?
grazie mille a tutti
Risposte
Per la prima, se la scrivi come: $z^3=|z|-|z|^2$ risulta evidente che $z^3$ è reale. A questo punto conviene scrivere $z$ in forma esponenziale $z=rho*e^(i phi)$, dalla realtà di $z^3$ ricavi $phi$ e dall'equazione, ridotta al solo modulo $rho$ di $z$, ricavi appunto $rho$.
La seconda a occhio (ma l'ho guardata di corsa) mi sembra che vada bene, potrebbe essere indeterminata, nel senso di ammettere infinite soluzioni. Ossia tutti i numeri $z$ che soddisfano l'ultima equazione che hai scritto. Salvo miei errori.
La seconda a occhio (ma l'ho guardata di corsa) mi sembra che vada bene, potrebbe essere indeterminata, nel senso di ammettere infinite soluzioni. Ossia tutti i numeri $z$ che soddisfano l'ultima equazione che hai scritto. Salvo miei errori.
Ciao
Grazie per la risposta
Per quanto riguarda la prima equazione, il risultato che mi viene dato è
$z= 0, z_0 = (sqrt(5)-1)/2, z_1 = (sqrt(5)-1)/2 e^(2/3 pi i), z_2 = (sqrt(5)-1)/2 e^(4/3 pi i)$
che quindi, ad occhio, non mi sembrano tutti valori reali visto che il seno non si annulla
è quello che mi ha messo un po' in difficoltà
per quanto riguarda la seconda
viene detto che la soluzione sono i punti appartenenti alle rette
$y=sqrt(3)x-1$
e
$y=-sqrt(3)x-1$
ma non so come arrivare a quella soluzione
Grazie per la risposta
Per quanto riguarda la prima equazione, il risultato che mi viene dato è
$z= 0, z_0 = (sqrt(5)-1)/2, z_1 = (sqrt(5)-1)/2 e^(2/3 pi i), z_2 = (sqrt(5)-1)/2 e^(4/3 pi i)$
che quindi, ad occhio, non mi sembrano tutti valori reali visto che il seno non si annulla
è quello che mi ha messo un po' in difficoltà
per quanto riguarda la seconda
viene detto che la soluzione sono i punti appartenenti alle rette
$y=sqrt(3)x-1$
e
$y=-sqrt(3)x-1$
ma non so come arrivare a quella soluzione
Della prima ti ho scritto che [size=130]$z^3$[/size], non [size=130]$z$[/size], deve risultare reale. Ed in effetti le soluzioni che hai pubblicato sono numeri il cui cubo è reale.
Sulla seconda, se le soluzioni sono quelle che scrivi c'è un errore nel testo che hai riportato. E' evidente per esempio che $z=i$ è una soluzione dell'equazione, ma nessuna delle due rette tocca il numero $i$.
Forse è :$|z+barz|=|z+i|$, che ha quelle soluzioni.
Sulla seconda, se le soluzioni sono quelle che scrivi c'è un errore nel testo che hai riportato. E' evidente per esempio che $z=i$ è una soluzione dell'equazione, ma nessuna delle due rette tocca il numero $i$.
Forse è :$|z+barz|=|z+i|$, che ha quelle soluzioni.
"Palliit":
Della prima ti ho scritto che [size=130]$z^3$[/size], non [size=130]$z$[/size], deve risultare reale. Ed in effetti le soluzioni che hai pubblicato sono numeri il cui cubo è reale.
Ops, vero, non avevo notato quel piccolo particolare
per la seconda hai ragione, ho riportato il testo sbagliato io.
infatti ora mi viene
$3x^2 = y^2 +2y+1$
Capito tutto, grazie
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