Equazioni autoconsistenti
spero sia questo il forum giusto x questo topic..
qualcuno potrebbe spiegarmi cosa sono le equazioni autoconsistenti (ovvero quelle della forma y = funzione(y) ) e come si può fare per dedurne un grafico?
grazie in anticipo per l'aiuto
qualcuno potrebbe spiegarmi cosa sono le equazioni autoconsistenti (ovvero quelle della forma y = funzione(y) ) e come si può fare per dedurne un grafico?
grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
In tutta onestà, ed onusto di anni, non ho mai sentito questo termine.
Se tu hai una equazione del tipo $y = f(y)$ o $x = f(x)$, o $w = f(w)$, che tanto fa lo stesso, questa equazione (che immagino vuoi risolvere in $RR$), potrà avere o no soluzioni, ma comunque l'insieme delle soluzioni sarà un sottoinsieme di $RR$, per cui non mi è chiaro cosa tu intenda per "dedurne un grafico".
Se tu hai una equazione del tipo $y = f(y)$ o $x = f(x)$, o $w = f(w)$, che tanto fa lo stesso, questa equazione (che immagino vuoi risolvere in $RR$), potrà avere o no soluzioni, ma comunque l'insieme delle soluzioni sarà un sottoinsieme di $RR$, per cui non mi è chiaro cosa tu intenda per "dedurne un grafico".
"Fioravante Patrone":
In tutta onestà, ed onusto di anni, non ho mai sentito questo termine.
Se tu hai una equazione del tipo $y = f(y)$ o $x = f(x)$, o $w = f(w)$, che tanto fa lo stesso, questa equazione (che immagino vuoi risolvere in $RR$), potrà avere o no soluzioni, ma comunque l'insieme delle soluzioni sarà un sottoinsieme di $RR$, per cui non mi è chiaro cosa tu intenda per "dedurne un grafico".
la situazione è questa, io ho:
m=f(m)=a1(t)*(m-b1m^3)
dove a1(t) è una funzione positiva che decresce al crescere della temperatura t; io ho provato a fare un grafico dell'equazione ponendo ad esempio a1(t)= 1/x (con x che quindi indica la temperatura)
b1 è coefficiente positivo; nel grafico gli ho assegnato valore 5
assegnati questi valori arbitrari ho fatto il grafico con derive (programma di matematica e studio di funzioni) di y=(1/x)(y-5y^3)
il mio problema era studiare se quest'equazione arrivava con continuità o meno ad y=0...
dal grafico di derive mi è stato facile dedurlo... volevo sapere xò come si poteva risolvere il problema "a mano"....
"TruthShadow":
[quote="Fioravante Patrone"]In tutta onestà, ed onusto di anni, non ho mai sentito questo termine.
Se tu hai una equazione del tipo $y = f(y)$ o $x = f(x)$, o $w = f(w)$, che tanto fa lo stesso, questa equazione (che immagino vuoi risolvere in $RR$), potrà avere o no soluzioni, ma comunque l'insieme delle soluzioni sarà un sottoinsieme di $RR$, per cui non mi è chiaro cosa tu intenda per "dedurne un grafico".
la situazione è questa, io ho:
m=f(m)=a1(t)*(m-b1m^3)
dove a1(t) è una funzione positiva che decresce al crescere della temperatura t; io ho provato a fare un grafico dell'equazione ponendo ad esempio a1(t)= 1/x (con x che quindi indica la temperatura)
b1 è coefficiente positivo; nel grafico gli ho assegnato valore 5
assegnati questi valori arbitrari ho fatto il grafico con derive (programma di matematica e studio di funzioni) di y=(1/x)(y-5y^3)
il mio problema era studiare se quest'equazione arrivava con continuità o meno ad y=0...
dal grafico di derive mi è stato facile dedurlo... volevo sapere xò come si poteva risolvere il problema "a mano"....[/quote]
Suppongo che la $t$ vari in un intervallo del tipo $]T_0,+oo[$, ma si può facilmente trattare anche il caso in cui l'intervallo abbia entrambi gli estremi finiti.
Porta tutto a primo membro e scrivi:
$a_1(t)*b_1*m^3+m*(1-a_1(t))=0$;
se supponi $m!=0$, puoi semplificare e scrivere $a_1(t)*b_1*m^2+(1-a_1(t))=0$; visto che $a_1>0$ per ogni $t$ e $b_1>0$, dall'ultima equazione trovi:
$m^2=(a_1(t)-1)/(b_1*a_1(t))$;
se risulta $"min"lim_(t to +oo) a_1(t)ge 1$ (in particolare se $lim_(t to +oo)a_1(t)ge 1$) allora puoi prendere le radici quadrate ad ambo i membri della precedente in un opportuno intorno di $+oo$ del tipo $]T,+oo[$ e trovare:
$m=m(t)=sqrt((1-a_1(t))/(b_1*a_1(t)))$.
Se, ancora più in particolare, $a_1(t)ge 1$ per ogni $t$ allora la precedente espressione di $m$ come funzione di $t$ vale in tutto l'intervallo in cui la variabile $t$ è costretta a variare.
In generale tu poni il problema di determinare $y(t)$ in modo che $y(t)=f(t,y(t))$ a quanto pare.
Un'equazione del genere si può scrivere $y-f(t,y)=0$ ed ha (almeno) una soluzione se risulta $1-(\partial f)/(\partial y)(t,y)!=0$ per almeno una coppia $(bart,bary)$ nell'insieme di definizione di $f$ (Teorema del Dini sulle funzioni implicite).
In generale non c'è un procedimento per ricavare la soluzione direttamente dall'equazione; però, se la $f$ ha derivate parziali continue rispetto a $t$ ed $y$, puoi esprimere la soluzione come integrale di un'equazione differenziale del primo ordine, ossia:
$y'(t)=-((\partial f)/(\partial t)(t,y(t)))/((\partial f)/(\partial y)(t,y(t)))$
con la condizione iniziale $bary=f(bart,bary)$ (sempre Teorema del Dini sulle funzioni implicite). Non è detto che tale equazione differenziale sia facilmente risolubile...
P.S.: FP, lo sai che ai non matematici piace dare nomi strani alle cose... e che ce vuò fa'?
Grazie x l'aiuto
Da ignorante ieri ho provato a risolverlo un pò a modo mio, ma penso che sia corretto...
Non ho conoscenze sul calcolo differenziale nè sulle derivate parziali, quindi ho cercato di fare con i mezzi a mia disposizione
mi sono diciamo invertito la funzione ricavando a1(t)....
a1(T) = 1/(1-b1m^2)
avendo considerato a1(T) del tipo 1/T ho quindi ricavato
T = -b1m^2 + 1
essendo questa l'espressione di una parabola ho dedotto che arriva con continuità al punto corrispondente ad m=0 (che sarebbe proprio il vertice della parabola)
è corretto?
Da ignorante ieri ho provato a risolverlo un pò a modo mio, ma penso che sia corretto...
Non ho conoscenze sul calcolo differenziale nè sulle derivate parziali, quindi ho cercato di fare con i mezzi a mia disposizione
mi sono diciamo invertito la funzione ricavando a1(t)....
a1(T) = 1/(1-b1m^2)
avendo considerato a1(T) del tipo 1/T ho quindi ricavato
T = -b1m^2 + 1
essendo questa l'espressione di una parabola ho dedotto che arriva con continuità al punto corrispondente ad m=0 (che sarebbe proprio il vertice della parabola)
è corretto?
"TruthShadow":
Grazie x l'aiuto
Da ignorante ieri ho provato a risolverlo un pò a modo mio, ma penso che sia corretto...
Non ho conoscenze sul calcolo differenziale nè sulle derivate parziali, quindi ho cercato di fare con i mezzi a mia disposizione
mi sono diciamo invertito la funzione ricavando a1(t)....
a1(T) = 1/(1-b1m^2)
avendo considerato a1(T) del tipo 1/T ho quindi ricavato
T = -b1m^2 + 1
essendo questa l'espressione di una parabola ho dedotto che arriva con continuità al punto corrispondente ad m=0 (che sarebbe proprio il vertice della parabola)
è corretto?
Aspetta un attimo, allora avevo capito male... Vuoi ricavare $t$ come funzione di $m$ e non il contrario come credevo io!
Vediamo un po' il caso generale. Sempre dall'equazione originaria $m=a_1(t)*(m-b_1*m^3)$ e sempre supponendo $m!=0$ trai:
$a_1(t)*(1-b_1*m^2)=1$
e supponendo pure $1-b_1*m^2!=0$ (ossia $m!=pm sqrt(1/b_1)$) dalla precedente ricavi:
$a_1(t)=1/(1-b_1*m^2)$;
da questo punto in poi tutto dipende dall'invertibilità (almeno locale) della funzione $a_1$.
Una condizione sufficiente a garantire l'invertibilità locale di $a_1$ è che la derivata prima di $("d"a_1)/("d"t)$ risulti diversa da zero in almeno un punto $bart$ (ho capito che non ne sai molto di Calcolo Differenziale, ma penso che una derivata la sai calcolare almeno!): se ciò accade è possibile scrivere:
$t=a_1^(-1)(1/(1-b_1*m^2))$
dove $a_1^(-1)$ è l'inversa di $a_1$ intorno a $bart$.
Ora veniamo al tuo esempio: hai $a_1(t)=1/t$; la derivata prima di $a_1$ è $("d"a_1)/("d"t)=-1/t^2$ e si vede facilmente che essa è sempre non nulla, cosicchè $a_1$ è invertibile in tutto l'insieme $RR-{0}$; l'equazione:
$1/t=1/(1-b_1*m^2)$
si risolve con i metodi soliti: visto che già hai imposto la condizione $1-b_1*m^2!=0$ puoi scrivere senza alcun indugio:
$t=1-b_1*m^2$.
Ovviamente l'ultima relazione ti da valori positivi [risp. negativi] di $t$ per $m<-sqrt(1/b_1)$ oppure $m>sqrt(1/b_1)$ [risp. per $-sqrt(1/b_1)
Ovviamente ti lascio l'interpretazione dei risultati, perchè non so con cosa hai a che fare.
Solo una domanda: sei ingegnere?
ingegnere? forse fra 3 anni faccio il 5 scientifico...
comunque quest'esercizio non è di scuola...
ho capito la tua spiegazione, con le derivate tutto ok...
il problema era determinare se m=f(m)=a1(T)(m-b1m^3) arrivava con continuità ad m=0....
quell'equazione rappresenta l'espressione dalla magnetizzazione m di un materiale per T che varia in un intorno sinistro della temperatura critica...
Alla temperatura critica la magnetizzazione è nulla... bisognava studiare se tramite quell'espressione la magnetizzazione arrivava a zero con continuità o meno.
grazie per l'aiuto
faccio il 5 scientifico...comunque quest'esercizio non è di scuola...
ho capito la tua spiegazione, con le derivate tutto ok...
il problema era determinare se m=f(m)=a1(T)(m-b1m^3) arrivava con continuità ad m=0....
quell'equazione rappresenta l'espressione dalla magnetizzazione m di un materiale per T che varia in un intorno sinistro della temperatura critica...
Alla temperatura critica la magnetizzazione è nulla... bisognava studiare se tramite quell'espressione la magnetizzazione arrivava a zero con continuità o meno.
grazie per l'aiuto
"TruthShadow":
ingegnere? forse fra 3 anni
comunque quest'esercizio non è di scuola...
ho capito la tua spiegazione, con le derivate tutto ok...
il problema era determinare se m=f(m)=a1(T)(m-b1m^3) arrivava con continuità ad m=0....
quell'equazione rappresenta l'espressione dalla magnetizzazione m di un materiale per T che varia in un intorno sinistro della temperatura critica...
Alla temperatura critica la magnetizzazione è nulla... bisognava studiare se tramite quell'espressione la magnetizzazione arrivava a zero con continuità o meno.
grazie per l'aiuto
Ah ok!
Beh dall'espressione esplicita della soluzione potresti già dedurre qualcosa... altrimenti prova a mettere un post nella sezione Fisica: qualcuno ti darà una mano, credo; però ricordati di specificare che sei un liceale, seppur all'ultimo anno, altrimenti lì partono direttamente con la Meccanica Quantistica!
No, dai, scherzo, non sono così complicati i fisici... ad ogni modo, dillo lo stesso che sei un liceale così chi ti vuole aiutare può calibrare bene le risposte.
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