Equazioni alle differenze
Non sono molto pratico di matematica discreta e non ho mai avuto a che fare con equazioni alle differenze... magari la mia domanda è banale ma mi farebbe piacere una conferma o una eventuale spiegazione in merito.
Ho un sistema caratterizzato dalla cascata di due sistemi $S_1$ e $S_2$ descritti dalle seguenti equazioni alle differenze:
$S_1: omega(n)=1/2omega(n-1)+x(n)$
$S_2: y(n)=1/4y(n-1)+omega(n)$
e si chiede di trovare un'unica equazione alle differenze per l'intero sistema.
Ho sostituito $omega(n)$ nella seconda equazione e ho trovato: $y(n)=1/4y(n-1)+1/2omega(n-1)+x(n)$... a questo punto per trovare $omega(n-1)$ ho sostituito $n-1$ al posto di $n$ nella seconda equazione e ho trovato
$y(n-1)=1/4y(n-2)+omega(n-1)$ da cui $omega(n-1)=y(n-1)-1/4y(n-2)$ e perciò il risultato mi viene
$y(n)=1/4y(n-1)+1/2y(n-1)-1/8y(n-2)+x(n)$ ovvero $y(n)=3/4y(n-1)-1/8y(n-2)+x(n)$...
è giusto procedere in questo modo? altrimenti come si affronta questo tipo di problemi?
Ho un sistema caratterizzato dalla cascata di due sistemi $S_1$ e $S_2$ descritti dalle seguenti equazioni alle differenze:
$S_1: omega(n)=1/2omega(n-1)+x(n)$
$S_2: y(n)=1/4y(n-1)+omega(n)$
e si chiede di trovare un'unica equazione alle differenze per l'intero sistema.
Ho sostituito $omega(n)$ nella seconda equazione e ho trovato: $y(n)=1/4y(n-1)+1/2omega(n-1)+x(n)$... a questo punto per trovare $omega(n-1)$ ho sostituito $n-1$ al posto di $n$ nella seconda equazione e ho trovato
$y(n-1)=1/4y(n-2)+omega(n-1)$ da cui $omega(n-1)=y(n-1)-1/4y(n-2)$ e perciò il risultato mi viene
$y(n)=1/4y(n-1)+1/2y(n-1)-1/8y(n-2)+x(n)$ ovvero $y(n)=3/4y(n-1)-1/8y(n-2)+x(n)$...
è giusto procedere in questo modo? altrimenti come si affronta questo tipo di problemi?
Risposte
Per trattare in modo efficiente problemi di questo tipo si ricorre alla cosidetta 'Zeta- trasformata' nella quale ad una generica sequenza $a_n$ con $-oo
$A(z)= sum_(n=-oo)^(+oo) a_n * z^n$ (1)
Se indichiamo con $b_n$ la sequenza $a_n$ ritardata di $k$ posizioni sarà...
$b_n=a_(n-k)$ (2)
... e, utilizzando la Z-trasformata, ...
$B(z)= z^(-k)* A(z) (3)
Le due equazioni alle differenze da te impostate divengono...
$Omega(z)* (1-1/2*z^(-1))= X(z)$
$Y(z)*(1-1/4*z^(-1))=Omega(z)$ (4)
Dalla prima ...
$Omega(z)=(X(z))/(1-1/2*z^(-1))$ (5)
... che sostituita nella seconda dà...
$Y(z)=(X(z))/((1-1/2*z^(-1))*(1-1/4*z^(-1)))= (X(z))/(1-3/4*z^(-1)+1/8*z^(-2))$ (6)
Antitrasformando la (6) si ottiene...
$y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=x(n)$ (7)
... che altro non è che quanto hai già ottenuto...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$A(z)= sum_(n=-oo)^(+oo) a_n * z^n$ (1)
Se indichiamo con $b_n$ la sequenza $a_n$ ritardata di $k$ posizioni sarà...
$b_n=a_(n-k)$ (2)
... e, utilizzando la Z-trasformata, ...
$B(z)= z^(-k)* A(z) (3)
Le due equazioni alle differenze da te impostate divengono...
$Omega(z)* (1-1/2*z^(-1))= X(z)$
$Y(z)*(1-1/4*z^(-1))=Omega(z)$ (4)
Dalla prima ...
$Omega(z)=(X(z))/(1-1/2*z^(-1))$ (5)
... che sostituita nella seconda dà...
$Y(z)=(X(z))/((1-1/2*z^(-1))*(1-1/4*z^(-1)))= (X(z))/(1-3/4*z^(-1)+1/8*z^(-2))$ (6)
Antitrasformando la (6) si ottiene...
$y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=x(n)$ (7)
... che altro non è che quanto hai già ottenuto...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
lupo grigio ti ringrazio per avermi rinfrescato la memoria... effettivamente all'esame di Metodi Matematici era stata accennata la Z-trasformazione, anche se poi non era oggetto d'esame e non si facevano esercizi in merito... ora me la rivedo, credo sia uno strumento molto potente per trattare le equazioni alle differenze così come la L-trasformata lo è per le equazioni differenziali
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