Equazioni alle derivate parziali
Ciao a tutti. Ho piccoli problemi, per usare un eufemismo, con le equazioni alle derivate parziali. Premetto che non ho fatto corsi nei quali si facciano teoremi di esistenza e unicità delle soluzioni o metodi per risolverle. Mi sono state presentate nel corso(? 
) di fisica matematica III attraverso esempi o modelli fisici e demografici che possono essere descritti attraverso di esse. Il primo problema che vorrei risolvere è capire come possono essere risolte attraverso il metodo delle caratteristiche. Per quanto riguarda equazioni del tipo
[tex]$ \frac{\partial U(x,t)}{\partial t} + a\frac{\partial U(x,t)}{\partial t} = 0 $[/tex] con a costante
leggendo su wikipedia ho capito come farle.
Ma già se al posto di a metto un funzione o al posto di avere = 0 ho altro non so come gestire la situazione.
Ad esempio, come faccio a risolvere una PDE del genere?
[tex]$ \frac{\partial U(x,t)}{\partial t} + v(x,t)\frac{\partial U(x,t)}{\partial t} = -kU(x,t)+r(x,t)$[/tex]
Qualcuno mi potrebbe gentilmente aiutare? Grazie!
) di fisica matematica III attraverso esempi o modelli fisici e demografici che possono essere descritti attraverso di esse. Il primo problema che vorrei risolvere è capire come possono essere risolte attraverso il metodo delle caratteristiche. Per quanto riguarda equazioni del tipo[tex]$ \frac{\partial U(x,t)}{\partial t} + a\frac{\partial U(x,t)}{\partial t} = 0 $[/tex] con a costante
leggendo su wikipedia ho capito come farle.
Ma già se al posto di a metto un funzione o al posto di avere = 0 ho altro non so come gestire la situazione.
Ad esempio, come faccio a risolvere una PDE del genere?
[tex]$ \frac{\partial U(x,t)}{\partial t} + v(x,t)\frac{\partial U(x,t)}{\partial t} = -kU(x,t)+r(x,t)$[/tex]
Qualcuno mi potrebbe gentilmente aiutare? Grazie!
Risposte
Nel caso più generale delle equazioni lineari, il metodo delle caratteristiche è un po' più complesso, in quanto per applicarlo devi saper risolvere un sistema di equazioni differenziali ordinarie.
Te lo spiego per sommi capi; per approfondire puoi vedere, ad esempio, Evans, Partial Differential Equations, capitolo 3 (se non erro).
La tua equazione è del tipo [tex]$F(x,t,U,U_x,U_t)=0$[/tex] con [tex]$F(x,t,u,p,q)=q+v(x,t) p+ku-r(x,t)$[/tex] definita in [tex]$\Omega \times \mathbb{R}^3$[/tex], ove [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] è l'insieme di definizione dei coefficienti [tex]$v(v,t)$[/tex] ed [tex]$r(x,t)$[/tex] (supponendo che [tex]$k$[/tex] sia una costante...). Inoltre supponiamo che siano assegnate anche una curva [tex]$\Gamma \subset \partial \Omega$[/tex] ed un dato iniziale [tex]$g:\Gamma \to \mathbb{R}$[/tex], di modo che è possibile porre il problema al contorno:
(1) [tex]$\begin{cases} F(x,t,U,U_x,U_t)=0 &\text{in } \Omega \\
U(x,t)=g(x,t) &\text{per } (x,t)\in \Gamma \end{cases}$[/tex]
Una curva caratteristica del problema (1) che congiunge un punto [tex]$(x,t)\in \Omega$[/tex] con un punto [tex]$(x_0,t_0) \in \Gamma$[/tex] è una curva [tex]$\left( x(s),t(s)\right)$[/tex] di [tex]$\Omega$[/tex] che ha gli estremi in [tex]$(x_0,t_0),\ (x,t)$[/tex] e lungo la quale si riescono a determinare i valori assunti dalla soluzione [tex]$U$[/tex] di (1) partendo dal dato iniziale [tex]$g(x_0,t_0)$[/tex].
Viene da sé che, se so determinare per ogni [tex]$(x,t)\in \Omega$[/tex] l'equazione di una curva caratteristica che mi porta su un unico punto di [tex]$\Gamma$[/tex], allora so anche calcolare il valore della soluzione [tex]$U$[/tex] in [tex]$(x,t)$[/tex]. Si pone quindi il problema di determinare le equazioni [tex]$(x(s),t(s))$[/tex] delle curve caratteristiche di (1).
Supposto che [tex]$\left( x(s),t(s) \right)$[/tex] sia una curva caratteristica che si diparte da un certo punto [tex]$(x_0,t_0) \in \Gamma$[/tex] e che [tex]$U(x,t)$[/tex] sia la soluzione di (1), poniamo:
[tex]$u(s)=U(x(s),t(s)),\ p(s)=U_x(x(s),t(s)),\ q(s)=U_t(x(s),t(s))$[/tex].
Con un po' di conti (che non sto qui a ripetere e che trovi sul testo), si vede che le funzioni [tex]$x(s),t(s),u(s),p(s),q(s)$[/tex] verificano il seguente sistema di EDO:
[tex]$\begin{cases} x^\prime (s)=F_p(x(s),t(s),u(s),p(s),q(s)) \\
t^\prime (s)=F_q(x(s),t(s),u(s),p(s),q(s)) \\
u^\prime (s)=p(s)\ F_p(x(s),t(s),u(s),p(s),q(s)) +q(s)\ F_q(x(s),t(s),u(s),p(s),q(s))\end{cases}$[/tex]
che nel caso lineare in esame diventa semplicissimo:
(2) [tex]$\begin{cases} x^\prime (s)=v(x(s),t(s)) \\
t^\prime (s)=1 \\
u^\prime (s)=r(x(s),t(s))-k\ u(s)\end{cases}$[/tex]
Per determinarne le soluzioni, al sistema (2) vanno poi imposte delle condizioni iniziali: visto che vogliamo che la nostra curva caratteristica passi in [tex]$(x_0,t_0)$[/tex] bisogna imporre [tex]$x(0)=x_0,\ t(0)=t_0$[/tex]; inoltre visto che [tex]$u(0)=U(x_0,t_0)$[/tex], dalle condizioni iniziali di (1) traiamo [tex]$u(0)=g_0=:g(x_0,t_0)$[/tex]. Ne viene che il sistema caratteristico (2) riscritto tenendo presenti le condizioni iniziali diviene:
(3) [tex]$\begin{cases} x^\prime (s)=v(x(s),t(s)) \\
t^\prime (s)=1 \\
u^\prime (s)=r(x(s),t(s))-k\ u(s)\\
x(0)=x_0, t(0)=t_0, u(0)=g_0\end{cases}$[/tex]
Dalla seconda di (3) ricavi immediatamente [tex]$t(s)=s+t_0$[/tex], quindi rimane da risolvere il sistema:
(4) [tex]$\begin{cases} x^\prime (s)=v(x(s),s+t_0) \\
u^\prime (s)=r(x(s),s+t_0)-k\ u(s)\\
x(0)=x_0, u(0)=g_0\end{cases}$[/tex]
Per semplificare ulteriormente e perchè è fisicamente plausibile, puoi sempre ritenere che la regione [tex]$\Omega$[/tex] contenga almeno un segmento dell'asse [tex]$t=0$[/tex], sicchè si può prendere [tex]$\Gamma$[/tex] coincidente con tale segmento: ciò corrisponde ad assegnare il valore di $U$ in (1) per $t=0$ (cosa che ai Fisici ed agli Ingegneri piace assai
).
In tal caso allora risulta [tex]$t_0=0$[/tex] ergo [tex]$t=s$[/tex] e puoi certamente scrivere (4) considerando [tex]$t$[/tex] come variabile:
(5) [tex]$\begin{cases} x^\prime (t)=v(x(t),t) \\
u^\prime (t)=r(x(t),t)-k\ u(t)\\
x(0)=x_0, u(0)=g_0\end{cases}$[/tex].
Questo, in fin dei conti, è il sistema che ti interessa; però esso non si può risolvere "a colpo d'occhio" (ossia senza sapere esplicitamente chi sono [tex]$v,\ r,\ k$[/tex]).
Supponiamo che tu abbia trovato le soluzioni [tex]$x(t),u(t)$[/tex] di (5) e vediamo, in linea teorica, come si fa a "costruire" la [tex]$U(x,t)$[/tex].
La [tex]$x(t)$[/tex] e la [tex]$u(t)$[/tex] sono, oltre che funzioni di [tex]$t$[/tex], anche funzioni del dato iniziale [tex]$x_0$[/tex]; difatti quando esso cambia, cambiano le due funzioni. Per mettere in evidenza questo fatto possiamo scrivere [tex]$x(t,x_0),\ u(t,x_0)$[/tex].
Consideriamo l'equazione [tex]$x=x(t,x_0)$[/tex]: visto che [tex]$x_0=x(0,x_0)$[/tex], si ha [tex]$\frac{\partial}{\partial x_0} x(t,x_0) \Big|_{(0,x_0)} =1\neq 0$[/tex] e per il teorema del Dini si può sempre esplicitare (localmente) l'equazione [tex]$x=x(t,x_0)$[/tex] rispetto ad [tex]$x_0$[/tex], ottenendo [tex]$x_0=\varphi (x,t)$[/tex].
Sostituendo il valore appena trovato di [tex]$x_0$[/tex] in [tex]$u(x,x_0)$[/tex] si ottiene una funzione:
[tex]$U(x,t):=u(t,\varphi (x,t))$[/tex]
che si può dimostrare essere la soluzione del problema (1) almeno localmente (ossia ove nell'intorno del'asse [tex]$t=0$[/tex] ove è possibile esplicitare l'equazione [tex]$x=x(t,x_0)$[/tex]).
Te lo spiego per sommi capi; per approfondire puoi vedere, ad esempio, Evans, Partial Differential Equations, capitolo 3 (se non erro).
La tua equazione è del tipo [tex]$F(x,t,U,U_x,U_t)=0$[/tex] con [tex]$F(x,t,u,p,q)=q+v(x,t) p+ku-r(x,t)$[/tex] definita in [tex]$\Omega \times \mathbb{R}^3$[/tex], ove [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] è l'insieme di definizione dei coefficienti [tex]$v(v,t)$[/tex] ed [tex]$r(x,t)$[/tex] (supponendo che [tex]$k$[/tex] sia una costante...). Inoltre supponiamo che siano assegnate anche una curva [tex]$\Gamma \subset \partial \Omega$[/tex] ed un dato iniziale [tex]$g:\Gamma \to \mathbb{R}$[/tex], di modo che è possibile porre il problema al contorno:
(1) [tex]$\begin{cases} F(x,t,U,U_x,U_t)=0 &\text{in } \Omega \\
U(x,t)=g(x,t) &\text{per } (x,t)\in \Gamma \end{cases}$[/tex]
Una curva caratteristica del problema (1) che congiunge un punto [tex]$(x,t)\in \Omega$[/tex] con un punto [tex]$(x_0,t_0) \in \Gamma$[/tex] è una curva [tex]$\left( x(s),t(s)\right)$[/tex] di [tex]$\Omega$[/tex] che ha gli estremi in [tex]$(x_0,t_0),\ (x,t)$[/tex] e lungo la quale si riescono a determinare i valori assunti dalla soluzione [tex]$U$[/tex] di (1) partendo dal dato iniziale [tex]$g(x_0,t_0)$[/tex].
Viene da sé che, se so determinare per ogni [tex]$(x,t)\in \Omega$[/tex] l'equazione di una curva caratteristica che mi porta su un unico punto di [tex]$\Gamma$[/tex], allora so anche calcolare il valore della soluzione [tex]$U$[/tex] in [tex]$(x,t)$[/tex]. Si pone quindi il problema di determinare le equazioni [tex]$(x(s),t(s))$[/tex] delle curve caratteristiche di (1).
Supposto che [tex]$\left( x(s),t(s) \right)$[/tex] sia una curva caratteristica che si diparte da un certo punto [tex]$(x_0,t_0) \in \Gamma$[/tex] e che [tex]$U(x,t)$[/tex] sia la soluzione di (1), poniamo:
[tex]$u(s)=U(x(s),t(s)),\ p(s)=U_x(x(s),t(s)),\ q(s)=U_t(x(s),t(s))$[/tex].
Con un po' di conti (che non sto qui a ripetere e che trovi sul testo), si vede che le funzioni [tex]$x(s),t(s),u(s),p(s),q(s)$[/tex] verificano il seguente sistema di EDO:
[tex]$\begin{cases} x^\prime (s)=F_p(x(s),t(s),u(s),p(s),q(s)) \\
t^\prime (s)=F_q(x(s),t(s),u(s),p(s),q(s)) \\
u^\prime (s)=p(s)\ F_p(x(s),t(s),u(s),p(s),q(s)) +q(s)\ F_q(x(s),t(s),u(s),p(s),q(s))\end{cases}$[/tex]
che nel caso lineare in esame diventa semplicissimo:
(2) [tex]$\begin{cases} x^\prime (s)=v(x(s),t(s)) \\
t^\prime (s)=1 \\
u^\prime (s)=r(x(s),t(s))-k\ u(s)\end{cases}$[/tex]
Per determinarne le soluzioni, al sistema (2) vanno poi imposte delle condizioni iniziali: visto che vogliamo che la nostra curva caratteristica passi in [tex]$(x_0,t_0)$[/tex] bisogna imporre [tex]$x(0)=x_0,\ t(0)=t_0$[/tex]; inoltre visto che [tex]$u(0)=U(x_0,t_0)$[/tex], dalle condizioni iniziali di (1) traiamo [tex]$u(0)=g_0=:g(x_0,t_0)$[/tex]. Ne viene che il sistema caratteristico (2) riscritto tenendo presenti le condizioni iniziali diviene:
(3) [tex]$\begin{cases} x^\prime (s)=v(x(s),t(s)) \\
t^\prime (s)=1 \\
u^\prime (s)=r(x(s),t(s))-k\ u(s)\\
x(0)=x_0, t(0)=t_0, u(0)=g_0\end{cases}$[/tex]
Dalla seconda di (3) ricavi immediatamente [tex]$t(s)=s+t_0$[/tex], quindi rimane da risolvere il sistema:
(4) [tex]$\begin{cases} x^\prime (s)=v(x(s),s+t_0) \\
u^\prime (s)=r(x(s),s+t_0)-k\ u(s)\\
x(0)=x_0, u(0)=g_0\end{cases}$[/tex]
Per semplificare ulteriormente e perchè è fisicamente plausibile, puoi sempre ritenere che la regione [tex]$\Omega$[/tex] contenga almeno un segmento dell'asse [tex]$t=0$[/tex], sicchè si può prendere [tex]$\Gamma$[/tex] coincidente con tale segmento: ciò corrisponde ad assegnare il valore di $U$ in (1) per $t=0$ (cosa che ai Fisici ed agli Ingegneri piace assai
).In tal caso allora risulta [tex]$t_0=0$[/tex] ergo [tex]$t=s$[/tex] e puoi certamente scrivere (4) considerando [tex]$t$[/tex] come variabile:
(5) [tex]$\begin{cases} x^\prime (t)=v(x(t),t) \\
u^\prime (t)=r(x(t),t)-k\ u(t)\\
x(0)=x_0, u(0)=g_0\end{cases}$[/tex].
Questo, in fin dei conti, è il sistema che ti interessa; però esso non si può risolvere "a colpo d'occhio" (ossia senza sapere esplicitamente chi sono [tex]$v,\ r,\ k$[/tex]).
Supponiamo che tu abbia trovato le soluzioni [tex]$x(t),u(t)$[/tex] di (5) e vediamo, in linea teorica, come si fa a "costruire" la [tex]$U(x,t)$[/tex].
La [tex]$x(t)$[/tex] e la [tex]$u(t)$[/tex] sono, oltre che funzioni di [tex]$t$[/tex], anche funzioni del dato iniziale [tex]$x_0$[/tex]; difatti quando esso cambia, cambiano le due funzioni. Per mettere in evidenza questo fatto possiamo scrivere [tex]$x(t,x_0),\ u(t,x_0)$[/tex].
Consideriamo l'equazione [tex]$x=x(t,x_0)$[/tex]: visto che [tex]$x_0=x(0,x_0)$[/tex], si ha [tex]$\frac{\partial}{\partial x_0} x(t,x_0) \Big|_{(0,x_0)} =1\neq 0$[/tex] e per il teorema del Dini si può sempre esplicitare (localmente) l'equazione [tex]$x=x(t,x_0)$[/tex] rispetto ad [tex]$x_0$[/tex], ottenendo [tex]$x_0=\varphi (x,t)$[/tex].
Sostituendo il valore appena trovato di [tex]$x_0$[/tex] in [tex]$u(x,x_0)$[/tex] si ottiene una funzione:
[tex]$U(x,t):=u(t,\varphi (x,t))$[/tex]
che si può dimostrare essere la soluzione del problema (1) almeno localmente (ossia ove nell'intorno del'asse [tex]$t=0$[/tex] ove è possibile esplicitare l'equazione [tex]$x=x(t,x_0)$[/tex]).
Risolvere:
[tex]$\begin{cases} U_t +xU_x=U-t &\text{in } \mathbb{R} \times \mathbb{R}\\
U(x,0)=g(x) &\text{per } t=0 \end{cases}$[/tex]
con [tex]$g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex].
***
Il sistema (5) diventa:
[tex]$\begin{cases} x^\prime (t)=x(t) \\
u^\prime (t)=-t+\ u(t)\\
x(0)=x_0, u(0)=g_0\end{cases}$[/tex]
ed evidentemente ha integrali [tex]$x(t)=x_0 e^t,\ u(t)=(g_0-1)e^t+t+1$[/tex]; dall'equazione [tex]$x=x_0 e^t$[/tex] si ricava [tex]$x_0=\varphi (x,t)=xe^{-t}$[/tex] e sostituendo tale valore in [tex]$u$[/tex] troviamo:
[tex]$U(x,t)=(g(xe^{-t})-1) e^t+t+1$[/tex]
che è la soluzione del problema (come si può verificare direttamente facendo i conti).
N.B.: Le curve caratteristiche hanno equazioni [tex]$(x_0e^t,t)$[/tex], sicché sono logaritmi (o esponenziali, dipende da dove le guardi...); per ogni punto [tex]$(x_0, 0)$[/tex] dell'asse [tex]$t=0$[/tex] c'è un unica curva caratteristica passante per tale punto e, in generale, per [tex]$(x,t)\in \mathbb{R}^2$[/tex] c'è un'unica caratteristica passante per [tex]$(x,t)$[/tex].
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("labels");
text([0,2.1],"t",aboveleft);
text([2.1,0],"x",belowright);
stroke="magenta";
plot("log(-x)",-2,0);
stroke="red";
plot("log(-2x)",-2,0);
stroke="orange";
plot("log(-4x)",-2,0);
stroke="yellow";
line([0,-3],[0,3]);
stroke="green";
plot("log(4x)",0,2);
stroke="cyan";
plot("log(2x)",0,2);
stroke="blue";
plot("log(x)",0,2);[/asvg]
[tex]$\begin{cases} U_t +xU_x=U-t &\text{in } \mathbb{R} \times \mathbb{R}\\
U(x,0)=g(x) &\text{per } t=0 \end{cases}$[/tex]
con [tex]$g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex].
***
Il sistema (5) diventa:
[tex]$\begin{cases} x^\prime (t)=x(t) \\
u^\prime (t)=-t+\ u(t)\\
x(0)=x_0, u(0)=g_0\end{cases}$[/tex]
ed evidentemente ha integrali [tex]$x(t)=x_0 e^t,\ u(t)=(g_0-1)e^t+t+1$[/tex]; dall'equazione [tex]$x=x_0 e^t$[/tex] si ricava [tex]$x_0=\varphi (x,t)=xe^{-t}$[/tex] e sostituendo tale valore in [tex]$u$[/tex] troviamo:
[tex]$U(x,t)=(g(xe^{-t})-1) e^t+t+1$[/tex]
che è la soluzione del problema (come si può verificare direttamente facendo i conti).
N.B.: Le curve caratteristiche hanno equazioni [tex]$(x_0e^t,t)$[/tex], sicché sono logaritmi (o esponenziali, dipende da dove le guardi...); per ogni punto [tex]$(x_0, 0)$[/tex] dell'asse [tex]$t=0$[/tex] c'è un unica curva caratteristica passante per tale punto e, in generale, per [tex]$(x,t)\in \mathbb{R}^2$[/tex] c'è un'unica caratteristica passante per [tex]$(x,t)$[/tex].
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("labels");
text([0,2.1],"t",aboveleft);
text([2.1,0],"x",belowright);
stroke="magenta";
plot("log(-x)",-2,0);
stroke="red";
plot("log(-2x)",-2,0);
stroke="orange";
plot("log(-4x)",-2,0);
stroke="yellow";
line([0,-3],[0,3]);
stroke="green";
plot("log(4x)",0,2);
stroke="cyan";
plot("log(2x)",0,2);
stroke="blue";
plot("log(x)",0,2);[/asvg]
Ok, risposta molto esauriente e chiara. Grazie. Adesso proverò a mettermi a rifare un pò tutti i passaggi per vedere se ho capito bene. Mi chiedo solo perchè le mie lezioni non siano così chiare 
!
Solo un paio cose:
-quando si può utilizzare il metodo delle caratteristiche?
-spero di non dire una cavolata, ma non mi è chiara una cosa: hai scritto che per il Teorema del Dini è sempre possibile, localmente, esplicitare l'equazione. Però mi sembra strana questa cosa. Nel senso, io data una funzione che definisce una funzione implicita sono in grado di disegnare il grafico della funzione implicita, ma non sono in grado di esprimere tale funzione come espressione del tipo $x=f(x)$, se non in casi estremamente facili. Mi sbaglio? Nel caso non mi sbagliassi, cioè nel caso non si riesca a scrivere un'espressione esplicita, come faccio a procedere?
-vorrei sapere un'opinione sul libro che mi hai consigliato. Nel mio corso è stato consigliato Partial Differential Equation. An introduction di W. Strauss, ma non mi sto trovando bene. Il libro è anche carino e ben spiegato, ma il problema è che anche li, come nel corso, non mi pare sia spiegato bene come risolvere le PDE.
!Solo un paio cose:
-quando si può utilizzare il metodo delle caratteristiche?
-spero di non dire una cavolata, ma non mi è chiara una cosa: hai scritto che per il Teorema del Dini è sempre possibile, localmente, esplicitare l'equazione. Però mi sembra strana questa cosa. Nel senso, io data una funzione che definisce una funzione implicita sono in grado di disegnare il grafico della funzione implicita, ma non sono in grado di esprimere tale funzione come espressione del tipo $x=f(x)$, se non in casi estremamente facili. Mi sbaglio? Nel caso non mi sbagliassi, cioè nel caso non si riesca a scrivere un'espressione esplicita, come faccio a procedere?
-vorrei sapere un'opinione sul libro che mi hai consigliato. Nel mio corso è stato consigliato Partial Differential Equation. An introduction di W. Strauss, ma non mi sto trovando bene. Il libro è anche carino e ben spiegato, ma il problema è che anche li, come nel corso, non mi pare sia spiegato bene come risolvere le PDE.
"Lory314":
Ok, risposta molto esauriente e chiara. Grazie. Adesso proverò a mettermi a rifare un pò tutti i passaggi per vedere se ho capito bene. Mi chiedo solo perchè le mie lezioni non siano così chiare
Solo un paio cose:
-quando si può utilizzare il metodo delle caratteristiche?
In linea di principio sempre, per tutte le equazioni del primo ordine.
Però, mentre nel caso di equazioni lineari e quasilineari il sistema caratteristico è quello semplice (5), per equazioni completamente nonlineari il sistema caratteristico si complica: infatti a:
(*) [tex]$\begin{cases} x^\prime =F_p(x,t,u,p,q) \\
t^\prime =F_q(x,t,u,p,q) \\
u^\prime =p\ F_p(x,t,u,p,q) +q\ F_q(x,t,u,p,q)\end{cases}$[/tex]
(N.B.: ho omesso la dipendenza dal parametro [tex]$s$[/tex]!) si devono aggiungere altre due equazioni per determinare [tex]$p(s),q(s)$[/tex]. Ciò accade perchè, nel caso nonlineare, nelle prime due EDO del sistema precedente compaiono esplicitamente anche le [tex]$p(s),q(s)$[/tex] (cosa che non accade nei casi lineare e quasilineare*).
In particolare, le due equazioni da aggiungere sono:
(**) [tex]$\begin{cases} p^\prime =-F_x(x,t,u,p,q) -p\ F_u(x,t,u,p,q)\\
q^\prime =-F_t(x,t,u,p,q) -q\ F_u(x,t,u,p,q)\end{cases}$[/tex]
sicché il sistema caratteristico dell'equazione completamente nonlineare [tex]$F(x,t,U,U_x,U_t)=0$[/tex] è del tipo:
(***) [tex]$\begin{cases} x^\prime =F_p(x,t,u,p,q) \\
t^\prime =F_q(x,t,u,p,q) \\
p^\prime =-F_x(x,t,u,p,q) -p\ F_u(x,t,u,p,q)\\
q^\prime =-F_t(x,t,u,p,q) -q\ F_u(x,t,u,p,q)\\
u^\prime =p\ F_p(x,t,u,p,q) +q\ F_q(x,t,u,p,q)\end{cases}$[/tex]
cui vanno accoppiate appropriate condizioni iniziali da ricavare dalle condizioni al contorno del problema relativo alla PDE in esame.
Di solito è una gran rottura (per non dire che è impossibile) risolvere il sistema caratteristico (***) esplicitamente.
"Lory314":
-spero di non dire una cavolata, ma non mi è chiara una cosa: hai scritto che per il Teorema del Dini è sempre possibile, localmente, esplicitare l'equazione. Però mi sembra strana questa cosa. Nel senso, io data una funzione che definisce una funzione implicita sono in grado di disegnare il grafico della funzione implicita, ma non sono in grado di esprimere tale funzione come espressione del tipo $x=f(x)$, se non in casi estremamente facili. Mi sbaglio? Nel caso non mi sbagliassi, cioè nel caso non si riesca a scrivere un'espressione esplicita, come faccio a procedere?
Per "esplicitare rispetto a [tex]$x_0$[/tex]" intendevo solo stabilire l'esistenza della funzione [tex]$\varphi (x,t)$[/tex]; chiaramente il teorema del Dini ti consente di dire che una tale [tex]$\varphi$[/tex] esiste, ma in generale non sarà determinabile esplicitamente (a meno di casi semplici). In questo caso hai solamente un teorema di esistenza (locale) della soluzione, ma non una sua rappresentazione esplicita e ti devi arrangiare come puoi: questa è una situazione molto comune per i Matematici.
"Lory314":
-vorrei sapere un'opinione sul libro che mi hai consigliato. Nel mio corso è stato consigliato Partial Differential Equation. An introduction di W. Strauss, ma non mi sto trovando bene. Il libro è anche carino e ben spiegato, ma il problema è che anche li, come nel corso, non mi pare sia spiegato bene come risolvere le PDE.
Forse non è spiegato bene perchè risolvere esplicitamente una PDE è una cosa estremamente difficile.
Voglio dire, già il metodo standard per la soluzione delle equazioni del primo ordine è complicato: infatti se l'equazione è in [tex]$2$[/tex] variabili devi risolvere il sistema caratteristico, che nel migliore dei casi è formato da [tex]$2$[/tex] EDO, ma in generale ha [tex]$5$[/tex] EDO tutte accoppiate; se aumenti le dimensioni ad [tex]$n$[/tex], il numero di EDO cresce e nel caso peggiore diventa [tex]$2n+1$[/tex]... Capisci anche da te che non sempre il sistema caratteristico è risolvibile "a mano"; per cui il più delle volte ci si accontenta di risultati di esistenza delle soluzioni (che poi sono quelli che davvero interessano ai Matematici).
Nel caso delle PDE del secondo ordine le soluzioni nei casi modello (eqq. di Laplace, del calore, delle onde) si rappresentano, il più delle volte, come convoluzioni oppure come somme di serie trigonometriche/polinomiali che non sono calcolabili "a mano"; di nuovo, il Matematico si può anche accontentare di risultati di esistenza senza determinare esplicitamente una (rappresentazione della) soluzione.
Nel caso generale di equazioni d'ordine [tex]$\geq 2$[/tex], non si può dire (quasi) nulla di sicuro e generale; si lavora caso per caso con metodi ad hoc. Anche per questo la teoria delle PDE è enorme, sterminata.
Per tornare al libro, il testo di Evans credo sia ben fatto ed adatto ai corsi della specialistica/magistrale (non so come si chiami ora...) in Matematica; tratta millemila argomenti e presenta parecchi esercizi (non ricordo se ci sono le soluzioni) di tipo "teorico" e non troppi di tipo "pratico", anche per via delle suddette difficoltà di soluzione delle PDE. Provalo; lo dovresti trovare nella biblioteca del dip. di Matematica della tua università.
Altri libri buoni sono sicuramente il John, Partial Differential Equations, e il Weinberger, A first course in Partial Differential Equations, che sono adatti a tutti e reperibili sempre in biblioteca.
Consiglio di andarteli a sfogliare, casomai perdendo una mezza giornata per capire quale sia più adatto a quel che devi fare.
Tieni però presente che si tratta di testi di Analisi, e non di Fisica Matematica; quindi sono necessariamente più approfonditi rispetto a quello che avrai ascoltato a lezione... Insomma, ricorda che devi sostenere un esame di Fisica Matematica, non di Analisi Superiore.
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* Infatti nel caso lineare è [tex]$F(x,t,u,p,q)=a(x,t)\ p+b(x,t)\ q +c(x,t)\ u +d(x,t)=0$[/tex] sicché [tex]$F_p=a(x,t)$[/tex], [tex]$F_q=b(x,t)$[/tex] e [tex]$p\ F_p+q\ F_q=-c(x,t)\ u+d(x,t)$[/tex]; quindi [tex]$p,q$[/tex] non compaiono nelle tre (*) e si può fare a meno di aggiungere alle (*) le (**).
Nel caso quasilineare hai invece [tex]$F(x,t,u,p,q)=a(x,t,u)\ p+b(x,t,u)\ q +c(x,t,u)=0$[/tex] di modo che [tex]$F_p=a(x,t,u)$[/tex], [tex]$F_q=b(x,t,u)$[/tex] e [tex]$p\ F_p+q\ F_q=-c(x,t,u)$[/tex]; quindi [tex]$p,q$[/tex] non compaiono esplicitamente in (*) e si può ancora fare a meno di aggiungervi le (**).
ok. Grazie mille per tutte le informazioni.
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