Equazione uguale a 0
ciao ho questo semplice esercizio da proporre, al quale non riesco ad arrivare ad un capo
per quale funzione $f(x)$ l equazione $f(x) +1 + x^2 =0$ ha soluzione nell intervallo $[0,1]$
le risposte sono:
$f(x)=1+ e^(-x)$
$f(x)= e^x - 1$
$f(x)= e^(-x) -1$
$f(x)= e^x -3$
io non so propeio da dove partire per fare delle considerazioni
ho provato a sostituire la funzione nell equaizone e a calcolare ma non riesco a capire come inserire la condizione di ristrezione dell intervallo
gia che ci sono propongo un altro esercizio semplice che non riesco a svolgere:
qual è l insieme degli $a$ per i quali l equazione $x^5 + 3x^3=a(x+1)$ ha una soluzione nell intervallo $[-1,1]$
grazie mille a tutti
per quale funzione $f(x)$ l equazione $f(x) +1 + x^2 =0$ ha soluzione nell intervallo $[0,1]$
le risposte sono:
$f(x)=1+ e^(-x)$
$f(x)= e^x - 1$
$f(x)= e^(-x) -1$
$f(x)= e^x -3$
io non so propeio da dove partire per fare delle considerazioni
ho provato a sostituire la funzione nell equaizone e a calcolare ma non riesco a capire come inserire la condizione di ristrezione dell intervallo
gia che ci sono propongo un altro esercizio semplice che non riesco a svolgere:
qual è l insieme degli $a$ per i quali l equazione $x^5 + 3x^3=a(x+1)$ ha una soluzione nell intervallo $[-1,1]$
grazie mille a tutti
Risposte
Ti dicono niente le parole teorema degli zeri? 
Ciao booster,
provo un altro approccio, poi magari gugo82 mi corregge.
Chiedersi se quella equazione ha soluzione nell'intervallo $[0;1]$significa chiedersi se incontrerà mai l'asse delle x in quell'intervallo.
A me piace immaginarmi i grafici delle funzioni e $x^2+1$ mi sembra una parabola con vertice in $V(0;1)$ e concavità verso l'alto, dunque crescente nell'intervallo che ci interessa.
Le funzioni che devi sostituire anche si riescono ad immaginare facilmente: si tratta della curva esponenziale $e^x$ in due occasioni spostata verso il basso di 1 o di 3, mentre nelle altre due devi immaginarti il simmetrico rispetto all'asse y, una volta spostato verso l'alto di 1 e un'altra volta spostata verso il basso di 1.
Ora mi domando quale di queste mi conviene sommare alla mia parabola per avere sia valori positivi che valori negativi nell'intervallo di interesse. Escludo le prime 3 e provo con l'ultima.
$g(x)=e^x-3+x^2+1$
$g(0)=1-3+0+1=-1$
$g(1)=e-3+1+1=e-1$ che è sicuramente positivo, dunque in quell'intervallo la nostra funzione, visto che è continua, dovrà incontrare l'asse delle x, e visto che è sempre crescente (nell'intervallo) incontra l'asse delle x una volta sola.
@gugo: sono stata scorretta e/o imprecisa?
provo un altro approccio, poi magari gugo82 mi corregge.
Chiedersi se quella equazione ha soluzione nell'intervallo $[0;1]$significa chiedersi se incontrerà mai l'asse delle x in quell'intervallo.
A me piace immaginarmi i grafici delle funzioni e $x^2+1$ mi sembra una parabola con vertice in $V(0;1)$ e concavità verso l'alto, dunque crescente nell'intervallo che ci interessa.
Le funzioni che devi sostituire anche si riescono ad immaginare facilmente: si tratta della curva esponenziale $e^x$ in due occasioni spostata verso il basso di 1 o di 3, mentre nelle altre due devi immaginarti il simmetrico rispetto all'asse y, una volta spostato verso l'alto di 1 e un'altra volta spostata verso il basso di 1.
Ora mi domando quale di queste mi conviene sommare alla mia parabola per avere sia valori positivi che valori negativi nell'intervallo di interesse. Escludo le prime 3 e provo con l'ultima.
$g(x)=e^x-3+x^2+1$
$g(0)=1-3+0+1=-1$
$g(1)=e-3+1+1=e-1$ che è sicuramente positivo, dunque in quell'intervallo la nostra funzione, visto che è continua, dovrà incontrare l'asse delle x, e visto che è sempre crescente (nell'intervallo) incontra l'asse delle x una volta sola.
@gugo: sono stata scorretta e/o imprecisa?
Ero sempre stato abituato al ragionamento di gugo82 (cioè applicare il teorema degli zeri e basta senza fantasia) e non avevo mai pensato ad un approccio per grafici e devo dire che è davvero interessante.
Comunque posso assicurarti io (anche se a gugo82 l'ultima parola
) che sei stata correttissima.
Comunque posso assicurarti io (anche se a gugo82 l'ultima parola
) che sei stata correttissima.
Certo gio, tutto giusto.
Avevo pensato all'approccio "grafico" alla faccenda, ma poi ho desistito (perchè non sapevo se l'utente avesse mai visto nel corso della sua vita lo studio della funzione).
Inoltre, ritengo che l'approccio "puramente teorico" alla faccenda faccia capire che la teoria non è un insieme di teoremi messi lì a caso, che non si usano mai (perchè, a furia di ragionare meccanicamente sui grafici, a questo si arriva).
Avevo pensato all'approccio "grafico" alla faccenda, ma poi ho desistito (perchè non sapevo se l'utente avesse mai visto nel corso della sua vita lo studio della funzione).
Inoltre, ritengo che l'approccio "puramente teorico" alla faccenda faccia capire che la teoria non è un insieme di teoremi messi lì a caso, che non si usano mai (perchè, a furia di ragionare meccanicamente sui grafici, a questo si arriva).
grazie ragazzi.
@gugo: anche il prof di matematica II mi disse che non si deve sempre cercare di "immaginare" un grafico, ragionare sempre così è un limite, poi però mi ha promossa lo stesso.
@gugo: anche il prof di matematica II mi disse che non si deve sempre cercare di "immaginare" un grafico, ragionare sempre così è un limite, poi però mi ha promossa lo stesso.
ringrazio tutti moltissimo per le risposte
anche io cercavo di applicare il teorema degli zeri
purtroppo pero la risposta corretta è la numero 3
ed è questo che mi ha fatto suscitare dubbi
è un esercizio a crocette preso dal parziale di analisi che ho fatto l anno scorso
ho scaricaato le correzioni e risulta essere la terza la funzione corretta
non capisco perche
anche io cercavo di applicare il teorema degli zeri
purtroppo pero la risposta corretta è la numero 3
ed è questo che mi ha fatto suscitare dubbi
è un esercizio a crocette preso dal parziale di analisi che ho fatto l anno scorso
ho scaricaato le correzioni e risulta essere la terza la funzione corretta
non capisco perche
"booster180":
ringrazio tutti moltissimo per le risposte
Prego
"booster180":
purtroppo pero la risposta corretta è la numero 3
ed è questo che mi ha fatto suscitare dubbi
è un esercizio a crocette preso dal parziale di analisi che ho fatto l anno scorso
ho scaricaato le correzioni e risulta essere la terza la funzione corretta
non capisco perche
Neanche io, a me sembra che
$g(x)=e^(-x)+x^2$
sia sempre positiva, mai nulla.
Hai chiesto spiegazioni al prof?
non ho chiesto spiegazioni perche ho appena preso in mano le soluzioni
comunque cerche ìro di verificare
comunque cerche ìro di verificare
facci sapere
per l altro esercizio che ho postato penso che le considerazioni da fare siano simili
avete un idea sul metodo risolutivo?
avete un idea sul metodo risolutivo?
Comincia con l'esporre le tue idee, ti si aiuta di conseguenza.
mah mi sembra banalissimo come esercizio
ho sostituiro i valori degli estremi dell intervallo nell equazione
e ho visto che se per un estremo il valore è positivo
per l altro estremo il valore deve essere negativo in modo da applicare il teorema degli zeri
e di conseguenza ho trovato il valore del parametro dalla diseguazione che risulta
esercizio semplicissimo
non so perche le cose mi devono venire in mente sempre e solo alla seconda volta che ci provo, dopo aver mollato tutto
ho sostituiro i valori degli estremi dell intervallo nell equazione
e ho visto che se per un estremo il valore è positivo
per l altro estremo il valore deve essere negativo in modo da applicare il teorema degli zeri
e di conseguenza ho trovato il valore del parametro dalla diseguazione che risulta
esercizio semplicissimo
non so perche le cose mi devono venire in mente sempre e solo alla seconda volta che ci provo, dopo aver mollato tutto
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