Equazione trigonometrica

[freskezzadelleden]

E' la prima volta che scrivo quì
Mi serve calcolare questa equazione rispetto ad 'alpha':
\[-r sen(\alpha )- \frac{r^{2} sin (\alpha )cos(\alpha )}{\sqrt{l^{{2}}-r^{2}sen^{_{^{2}}} (\alpha )}}= - r sen(\alpha + \beta) - \frac{r^{^{2}}sen (\alpha +\beta )cos(\alpha +\beta )}{\sqrt{l^{^{2}}-r^{2 }sen^{^{2}}(\alpha +\beta )}}\]

(alpha è la variabile, beta è un parametro e il resto sono valori finiti ma questo ovviamente già lo sapete XD)
Se doveste darmi una mano, grazie in anticipo!

[gugo82]

Da dove esce questa equazione?
Chi sono \(\beta\), \(l\) ed \(r\)? C'è qualche legame tra tali quantità?


P.S.: Elimina il maiuscolo dal titolo, grazie.

[freskezzadelleden]

Questa equazione nasce da un cinematismo. Beta è un angolo di sfasamento, 'r' è il raggio di una manovella ed 'l' è la lunghezza di un'asta collegata a questa manovella

[gugo82]

Preticamente, stai chiedendo di risolvere \(f(\alpha)=f(\alpha +\beta)\) con \(f(\alpha ):= \sin \alpha +r\ \frac{\sin \alpha\ \cos \alpha}{\sqrt{l^2 -r^2\ \sin^2 \alpha}}\) (nota che un \(-r\) può essere semplificato senza colpo ferire).

Come ti ho detto, serve avere più dati sui parametri.
Dove vive \(\alpha\)? In \([0,\pi/2]\)? In \([0,\pi]\)? In \([0,2\pi]\)?
E \(\beta\) dove lo devi prendere?
Il valore di \(l\) è più piccolo o più grande di \(r\)?

[freskezzadelleden]

'alpha' vive in [0, 2 p greco]
'beta' vive in [p greco, 2 p greco]
'l' > 'r'

[mathbells]

"freskezzadelleden":'beta' vive in [p greco, 2 p greco]

allora mi sa che non esiste soluzione. Ho provato a fare un grafico di $f(\alpha)$ e mi sembra che, qualunque siano i valori di $l$ e di $r

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[gugo82]

Ovviamente l'equazione non è risolvibile esplicitamente per ogni valore di \(\beta\), quindi dovrai in generale usare metodi numerici per ottenere il valore buono per fissati \(\beta\), \(l\) ed \(r\).

Che tale valore esista, si può dimostrare in maniera abbastanza standard.
Nota che mettendo \(r^2\) in evidenza nella radice, ponendo \(t=l/r>1\) ed usando la formula di duplicazione del seno, l'equazione si riscrive:
\[
\sin \alpha + \frac{\sin 2\alpha}{2\sqrt{t^2 - \sin^2 \alpha}} = \sin (\alpha +\beta) + \frac{\sin (2(\alpha +\beta))}{\sqrt{t^2 - \sin^2 (\alpha +\beta)}}
\]
ossia:
\[ \tag{1}
f(\alpha) - f(\alpha +\beta) = 0
\]
con:
\[
f(\alpha) = \sin \alpha + \frac{\sin 2\alpha}{2\sqrt{t^2 - \sin^2 \alpha}}\; .
\]
La \(f\) è \(2\pi\)-periodica e dispari, nel senso che:
\[
f(\alpha )=f(\alpha +2\pi)\qquad \text{e}\qquad f(-\alpha) = -f(\alpha)\; .
\]
Dalla periodicità segue che possiamo prendere \(\alpha \in [-\pi,\pi]\) senza cambiare alcunché.
Se \(\beta =\pi\), si ha \(f(\alpha +\pi)=-f(\alpha)\) ergo \(\alpha=0,\pm \pi\) sono le uniche soluzioni del problema (1).
Se non sbaglio, posto \(F(\alpha ,\beta)=f(\alpha) - f(\alpha +\beta)\), si ha:
\[
F_\alpha (0,\pi)=2\ \cos 0 = 2>0
\]
per ogni \(t>1\); quindi il teorema della funzione implicita può essere usato per assicurare che esiste una funzione \(\alpha (\beta)\) definita in un intorno di \((\alpha_0,\beta_0)=(0,\pi)\) tale che \(\alpha (\pi)=0\) e:
\[
F(\alpha(\beta),\beta) = f(\alpha (\beta)) - f(\alpha (\beta) +\beta)=0\; .
\]
La funzione \(\alpha (\beta)\) è derivabilissima intorno a \(\beta_0=\pi\) e la sua derivata è positiva in \(\beta_0\), quindi per permanenza del segno \(\alpha (\beta)\) cresce intorno a \(\pi\). Questo ti dovrebbe aiutare a stabilire che \(\alpha (\beta)\) si può prolungare a tutto \([0, 2\pi]\), probabilmente.

[freskezzadelleden]

Sei stato chiarissimo e molto utile! Grazie