Equazione sul campo complesso
Salve a tutti avrei da proporre il seguente esercizio:
log(z+1)+Log i =Log 2-i $2/3$ $\pi$ ,
dove Log è il "logaritmo principale" a detta della mia professoressa. Ora a prescindere che lei non fa vedere la risoluzione di esercizi del genere, sapendo che solo questo Log z = log |z|+ i Arg z, come si può risolvere una cosa siffatta? Grazie a tutti in anticipo.
log(z+1)+Log i =Log 2-i $2/3$ $\pi$ ,
dove Log è il "logaritmo principale" a detta della mia professoressa. Ora a prescindere che lei non fa vedere la risoluzione di esercizi del genere, sapendo che solo questo Log z = log |z|+ i Arg z, come si può risolvere una cosa siffatta? Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
L'equazione sarebbe questa:
\[
\log(z+1)+\log i=\log(2-\frac{2}{3}\pi i)
\]
?
\[
\log(z+1)+\log i=\log(2-\frac{2}{3}\pi i)
\]
?
No solo il 2 è argomento del logaritmo al secondo membro. Quello scritto in maiuscolo è il logaritmo principale mentre quello in minuscolo il logaritmo in base e credo. Al fine pratico non riesco a carpire la differenza dei due se sono in una stessa equzione di conseguenza figuriamoci risolvere l'equazione
Mi pare di capire che non sai cos'è il logaritmo principale di un numero complesso.
Ogni numero complesso \( z \) può essere scritto nella forma esponenziale
\( z = \rho e^{i\theta} \)
dove \( \rho=|z| \) e \( \theta=Arg(z) \).
Il problema è che \( Arg(z) \) non è univoco: va bene qualsiasi \( \theta+2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \)!
Per ovviare a questo problema si chiama argomento principale l'unico \( \theta \in (-\pi,\pi) \).
Il logaritmo principale è quello che fa uso dell'argomento principale.
Ogni numero complesso \( z \) può essere scritto nella forma esponenziale
\( z = \rho e^{i\theta} \)
dove \( \rho=|z| \) e \( \theta=Arg(z) \).
Il problema è che \( Arg(z) \) non è univoco: va bene qualsiasi \( \theta+2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \)!
Per ovviare a questo problema si chiama argomento principale l'unico \( \theta \in (-\pi,\pi) \).
Il logaritmo principale è quello che fa uso dell'argomento principale.
"DiabloSV":
No solo il 2 è argomento del logaritmo al secondo membro. Quello scritto in maiuscolo è il logaritmo principale mentre quello in minuscolo il logaritmo in base e credo. Al fine pratico non riesco a carpire la differenza dei due se sono in una stessa equzione di conseguenza figuriamoci risolvere l'equazione
C'è qualcosa che non quadra. Se è come dici tu non ha senso scrivere \(\ln(z+1)\) se \(z\) è un numero complesso.
Non saprei l'esercizio ce l'ho davanti è una traccia d'esame è scritto come ho riportato io e ce ne sono altri simili quindi non credo sia un errore di battitura. Più di questo non so cosa dire. Quindi stando a quanto mi hai detto non ha senso distinhuere "log" da "Log" in un'equazione?
"Fabietto86":
Mi pare di capire che non sai cos'è il logaritmo principale di un numero complesso.
Ogni numero complesso \( z \) può essere scritto nella forma esponenziale
\( z = \rho e^{i\theta} \)
dove \( \rho=|z| \) e \( \theta=Arg(z) \).
Il problema è che \( Arg(z) \) non è univoco: va bene qualsiasi \( \theta+2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \)!
Per ovviare a questo problema si chiama argomento principale l'unico \( \theta \in (-\pi,\pi) \).
Il logaritmo principale è quello che fa uso dell'argomento principale.
La definizione la conosco il problema sta nel risolvere un'equazione del genere ove compaiono entrambe le diciture di logaritmo. E' questo che non ho capito...
"DiabloSV":
Non saprei l'esercizio ce l'ho davanti è una traccia d'esame è scritto come ho riportato io e ce ne sono altri simili quindi non credo sia un errore di battitura. Più di questo non so cosa dire. Quindi stando a quanto mi hai detto non ha senso distinhuere "log" da "Log" in un'equazione?
Non ti ho detto questo. Non ha senso calcolare il logaritmo naturale (che è una funzione reale a valori reali) di un numero complesso.
Sono dunque entrambi logaritmi complessi. Il dilemma sul procedimento risolutivo permane comunque. Grazie per aver risposto.
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