Equazione seno e coseno

[kobeilprofeta]

come si risolve un uqeazione di questo tipo?

$3 sin x+ cos x-3=0$

io ho provato a risolvere un sistema del genere ma non mi viene...
${(3t+u-3=0),(t^2+u^2=1):}$

grazie

[feddy]

Si tratta di un'equazione lineare in seno e coseno..
Innazitutto verifica se $x=+- \pi$ è soluzione..

E poi, assumi: $t= tan(x/2)$ e utilizza le formule parametriche del seno e del coseno:
$sen(t) = (2t)/(1+t^{2})$
$cos(t)=(1-t^2)/(1+t^{2})$

ottenendo così un'equazione di secondo grado in t.

[Lele0012]

Questo tipo di equazioni si risolve generalmente sfruttando le seguenti relazioni trigonometriche: posto
$t=tg(x/2)$
Si può verificare che vale:
$sinx=(2t)/(1+t^2)$ e $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$
In questo modo ottieni la seguente equazione:
$(6t)/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2)-3=0$
Di cui puoi trovare facilmente la soluzione

si ottiene $t_1=1/2$ e $t_2=1$, perciò, sostituendo, hai che $x_1=2arctg(1/2)+2\pik$ e $x_2=π/2+2πk$

EDIT: ops, mi hanno sapientemente preceduto volevo però farti notare che con il tuo sistema, ti trovi la stessa cosa

[kobeilprofeta]

intanto grazie


le due soluzioni del sistema sono
(4/5,3/5)
(1,0)

Io pensavo

$tan x=1/0 => x=pi/2$ e ok

poi $tan x= frac{4/5}{3/5}=4/3 => x=arctan (4/3) +k*pi$

[Lele0012]

Non vedo perché tu debba passare alla tangente: una volta trovato la variabile $t=senx$ la tua x è determinata; in ogni caso, anche volendo calcolare la tangente, ti faccio notare che $arctg(4/3)$ e $2arctg(1/2)$ individuano lo stesso angolo

[kobeilprofeta]

...ma senza caalcolatore come lo capisco?

[anto_zoolander]

Kobe se ti interessano altri modi te ne posto un paio.

considerando una circonferenza <- soluzione al problema da te proposto

cominci creando il sistema

${(3sinx+cosx-3=0),(sin^2x+cos^2x=1):}$

perché? beh della prima equazione ti interessano le soluzioni, la seconda equazione è vera per qualunque valore di $x$ quindi il sistema ammette soluzioni se e solo se le ammette la prima.

$Y=sinx,X=cosx$ e scrivo ${(3Y+X-3=0),(Y^2+X^2=1):} => {(Y=-1/3X+1),(Y^2+X^2=1):}$

risolvendo sostituendo $Y$ nella seconda equazione, ottengo:

${(Y=-1/3X+1),(X=0wedgeX=3/5):}$ rappresento la soluzione $X=3/5$ in una foto

naturalmente $X=cosx=3/5$



dunque le soluzioni sono $x=pi/2+2kpiwedgex=arccos(3/5)+2kpi$

metodo dell'angolo aggiunto

considero la formula $asinxpmbcosx=sqrt(a^2+b^2)sin(xpmarctan(b/a))$

da cui $3sinx+cosx=3 => sqrt(10)sin(x+arctan(1/3))=3$

$sin(x+arctan(1/3))=(3sqrt10)/10$

$x=arcsin((3sqrt10)/10)-arctan(1/3)+2kpi$

$x=pi-arcsin((3sqrt10)/10)-arctan(1/3)+2kpi$

per l'ultimo metodo ci sono relazioni che legano le varie parti, ma sostanzialmente non si imparano a memoria visto che si ricavano facilmente.

[feddy]

Kobe se ti interessano altri modi te ne posto un paio.

considerando una circonferenza

Il primo metodo è lo stesso che ha proposto kobe

[anto_zoolander]

@feddy

devo prendermi l'abitudine di leggere
In mia difesa posso dire che gli ho proposto come risolverlo

[kobeilprofeta]

"anto_zoolander":@feddy

devo prendermi l'abitudine di leggere
In mia difesa posso dire che gli ho proposto come risolverlo

ahahah

grazie comunque,