Equazione ("difficile"), definisce funzione implicita
Dimostra che l'equazione
\[ x-y + e^{-xy} + \int_{y}^{x^2 +y^2} e^{yt^2}dt =0 \]
Definisce in un intorno di \( x = 0 \) una funzione implicita \( y = \phi(x) \) tale che \( \phi (0) = 1 \)
Calcolare \( \phi '(0) \) e \( \phi''(0) \) e stabilire la natura del punto \( x = 0 \).
La soluzione dice
Poniamo $ F(x,y) = x-y + e^{-xy} + \int_{y}^{x^2 +y^2} e^{yt^2}dt =0 $, abbiamo che \( F(0,1) = 0 \) e
\[ \frac{\partial F}{\partial y} (x,y) = -1 -xe^{-xy} + 2ye^{y(x^2+y^2)^2}-e^{y^3} + \int_{y}^{x^2+y^2 } t^2 e^{yt^2} dt \]
E \( \frac{\partial F}{\partial y} (0,1) = e-1\) dunque possiamo applicare il teorema delle funzioni implicite, esiste pertanto \( \phi \in C^1 \) definita in un intorno di \( 0 \) tale che \( F(x,\phi(x)) = 0 \) per tutti gli \( x \) nell'intorno e \( \phi(0) =1 \) in più
\[ \phi'(0) = -\frac{ \frac{\partial F}{\partial x} (0,1)}{ \frac{\partial F}{\partial y} (0,1)} \]
abbiamo dunque
\[ \frac{\partial F}{\partial x} (x,y) = 1-ye^{-xy} + 2xe^{y(x^2+y^2)^2} \]
dunque \( \frac{\partial F}{\partial x} (0,1)=0 \) e \( \phi'(0)=0\) dunque \( x=0 \) è un punto critico in più
Poi vabbe calcola \( \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} (x,y) \) e trova che \( \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} (0,1)=1+2e \) e dunque
\( \phi''(0) = -\frac{ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} (0,1)}{ \frac{\partial F}{\partial y} (0,1)}=- \frac{1+2e}{e-1}<0 \) e conclude che \( x=0 \) è un massimo locale.
Bene allora
1) In primo luogo non capisco come faccia a capire che \( F(0,1)=0 \) cioé lo vede ad occhio? Oppure dev'essere \( (0,1) \) per il fatto che richiede \( \phi(0)=1 \) ?
2) Non capisco la derivata di \( \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) \) ne \( \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) \) in particolare come deriva l'integrale e gli estremi d'integrazione che dipendono dalle variabili di derivazione
\[ x-y + e^{-xy} + \int_{y}^{x^2 +y^2} e^{yt^2}dt =0 \]
Definisce in un intorno di \( x = 0 \) una funzione implicita \( y = \phi(x) \) tale che \( \phi (0) = 1 \)
Calcolare \( \phi '(0) \) e \( \phi''(0) \) e stabilire la natura del punto \( x = 0 \).
La soluzione dice
Poniamo $ F(x,y) = x-y + e^{-xy} + \int_{y}^{x^2 +y^2} e^{yt^2}dt =0 $, abbiamo che \( F(0,1) = 0 \) e
\[ \frac{\partial F}{\partial y} (x,y) = -1 -xe^{-xy} + 2ye^{y(x^2+y^2)^2}-e^{y^3} + \int_{y}^{x^2+y^2 } t^2 e^{yt^2} dt \]
E \( \frac{\partial F}{\partial y} (0,1) = e-1\) dunque possiamo applicare il teorema delle funzioni implicite, esiste pertanto \( \phi \in C^1 \) definita in un intorno di \( 0 \) tale che \( F(x,\phi(x)) = 0 \) per tutti gli \( x \) nell'intorno e \( \phi(0) =1 \) in più
\[ \phi'(0) = -\frac{ \frac{\partial F}{\partial x} (0,1)}{ \frac{\partial F}{\partial y} (0,1)} \]
abbiamo dunque
\[ \frac{\partial F}{\partial x} (x,y) = 1-ye^{-xy} + 2xe^{y(x^2+y^2)^2} \]
dunque \( \frac{\partial F}{\partial x} (0,1)=0 \) e \( \phi'(0)=0\) dunque \( x=0 \) è un punto critico in più
Poi vabbe calcola \( \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} (x,y) \) e trova che \( \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} (0,1)=1+2e \) e dunque
\( \phi''(0) = -\frac{ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} (0,1)}{ \frac{\partial F}{\partial y} (0,1)}=- \frac{1+2e}{e-1}<0 \) e conclude che \( x=0 \) è un massimo locale.
Bene allora
1) In primo luogo non capisco come faccia a capire che \( F(0,1)=0 \) cioé lo vede ad occhio? Oppure dev'essere \( (0,1) \) per il fatto che richiede \( \phi(0)=1 \) ?
2) Non capisco la derivata di \( \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) \) ne \( \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) \) in particolare come deriva l'integrale e gli estremi d'integrazione che dipendono dalle variabili di derivazione
Risposte
1. Il punto $(x_0,y_0)$ in cui testare le ipotesi del teorema è quello in cui la funzione implicitamente definita $phi$ soddisfa $phi(x_0)=y_0$, quindi $(0,1)$.
Il fatto che $F(x_0,y_0)=0$ si vede sostituendo $x_0=0, y_0=1$ e facendo il calcolo.
2. Delle derivate di un integrale ne ho scritto diverse volte; vedi qui.
Il fatto che $F(x_0,y_0)=0$ si vede sostituendo $x_0=0, y_0=1$ e facendo il calcolo.
2. Delle derivate di un integrale ne ho scritto diverse volte; vedi qui.
1) Si è calcolato \(F(x, y)\) con \(x=0, y=1\) e ha visto che si annulla. Si, lo ha visto ad occhio.
2) Ne abbiamo parlato molte volte, devi usare la regola di derivazione delle funzioni composte e il teorema fondamentale del calcolo.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8409941
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=198811
2) Ne abbiamo parlato molte volte, devi usare la regola di derivazione delle funzioni composte e il teorema fondamentale del calcolo.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8409941
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=198811
abbiamo scritto la stessa, identica cosa, nello stesso momento.
Siamo prevedibili
Grazie chiarissimo
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