Equazione omogenea del primo ordine

[chiarnik]

Salve ragazzi mi potreste aiutare con la soluzione di questa equazione per piacere?

$y'=(y^2-2xy)/x^2$

Allora divido tutto per $x^2$ poi pongo $z=y/x$ poi integro e separo le variabili e mi trovo così

$\int_(dz/(z^2-3z))$=$\int_dx/x$

e quindi $-1/3log|z|+1/3log|z-3|=log(cx)$

poi pongo $z=y/x$ ma non mi riesco a trovare la soluzione finale che è: $y(x)=3x/(1-cx^3)$

[gugo82]

Beh, ci sei quasi... Per concludere ti basta risolvere rispetto a \(z\) l'equazione logaritmica \(-\log|z|+ \log|z-3|=3\log(c x)\) e poi tornare alla variabile \(y\).
Prova!

[chiarnik]

ci ho provato ma non mi trovo per poco..cioè faccio così:

$log((z-3)/z)=3log(cx)$

$(z-3)/z=3cx$
$z(1-3cx)=3$
$z=3/(1-3cx)$ e quindi $y(x)=3x/(1-3cx)$ perchè non mi trovo quell'$x^3$

[gugo82]

A quanto è uguale \(3\log (cx)\)?
Mica a \(\log (3cx)\)!... Il logaritmo si guarda bene dall'essere un'applicazione lineare.

[chiarnik]

ah si che stupida -.- grazie mille =)