Equazione numeri complessi con coniugato
ciao ragazzi, devo risolvere la seguente equazione
$z^2 - 2conjugate(z)+1=0$
ponendo z=x+iy, e risolvendo alcuni brevi passaggi trovo il sistema x^2+y^2-2x+1=0 e 2xy+2y=0. a questo punto trovo le soluzioni dalla seconda equazione, ovvero y=0 e x=-1/2, e le sostituisco nella prima. Sostituendo y=0 trovo x=1, mentre nel secondo caso mi risulta impossibile la risoluzione perché ponendo x=-1/2 mi risulta y^2=-9/4, e essendo x e y numeri reali non ha soluzioni (giusto?)
quindi l unica soluzione esistente sarebbe z=1, ma ciò va contro al teorema che afferma che un polinomio complesso di grado n presenta esattamente n radici! come mai?
buona domenica
$z^2 - 2conjugate(z)+1=0$
ponendo z=x+iy, e risolvendo alcuni brevi passaggi trovo il sistema x^2+y^2-2x+1=0 e 2xy+2y=0. a questo punto trovo le soluzioni dalla seconda equazione, ovvero y=0 e x=-1/2, e le sostituisco nella prima. Sostituendo y=0 trovo x=1, mentre nel secondo caso mi risulta impossibile la risoluzione perché ponendo x=-1/2 mi risulta y^2=-9/4, e essendo x e y numeri reali non ha soluzioni (giusto?)
quindi l unica soluzione esistente sarebbe z=1, ma ciò va contro al teorema che afferma che un polinomio complesso di grado n presenta esattamente n radici! come mai?
buona domenica
Risposte
z=1 è l'unica soluzione reale, non puoi escludere le altre quando lavori nel campo dei complessi!! Un polinomio di grado n ha sempre n radici complesse (tra queste alcune possono essere reali, infatti l'insieme R è contenuto in C).
ma nella risoluzione del sistema x e y non sono numeri reali?
e come faccio a trovare le altre? scusa per il disturbo
e come faccio a trovare le altre? scusa per il disturbo
up
a parte il fatto che esiste il concetto di radice multipla,in questo caso,a mio parere ,la questione non si pone perchè non hai un polinomio nella variabile $z$
cioè,non hai $z^2-2z+1$,ma $z^2-2bar(z)+1$
cioè,non hai $z^2-2z+1$,ma $z^2-2bar(z)+1$
"quantunquemente":
a parte il fatto che esiste il concetto di radice multipla,in questo caso,a mio parere ,la questione non si pone perchè non hai un polinomio nella variabile $z$
cioè,non hai $z^2-2z+1$,ma $z^2-2bar(z)+1$
scusami, ma quindi come sarebbe la risoluzione? non riesco ancora a capire..grazie
Da $z^2 - 2bar(z)+1=0$ sostituendo $z=x+iy$ ottengo
$\{(x^2 - y ^2 -2x +1 = 0),(2y (x+1) = 0):}$ da cui, risolvendo la seconda equazione, $y=0$ e $x= -1$, sostituendo poi nella prima equazione ottengo
$\{(y =0 ),(x_1=x_2 = 1):}$ che è una soluzione a molteplicità 2, quindi 2 soluzioni coincidenti e
$\{(x= -1 ),(y = +-2):}$ cioè altre due soluzioni
Ovviamente vale il discorso di quantunquemente, il polinomio non è nella sola variabile $z$ e non puoi applicare il teorema fondamentale dell'algebra.
$\{(x^2 - y ^2 -2x +1 = 0),(2y (x+1) = 0):}$ da cui, risolvendo la seconda equazione, $y=0$ e $x= -1$, sostituendo poi nella prima equazione ottengo
$\{(y =0 ),(x_1=x_2 = 1):}$ che è una soluzione a molteplicità 2, quindi 2 soluzioni coincidenti e
$\{(x= -1 ),(y = +-2):}$ cioè altre due soluzioni
Ovviamente vale il discorso di quantunquemente, il polinomio non è nella sola variabile $z$ e non puoi applicare il teorema fondamentale dell'algebra.
gentilissimi tutti e due grazie mille!
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