Equazione numeri complessi
Ho difficoltà nello svolgimento della seguente equazione complessa
$(z-i)^6=-8$. ho sviluppato $(z-i)^6$ ma non sono arrivato a niente e inoltre sono certo che anzichè svolgere tutti i calcoli esista una scorciatoia !! Potreste darmi un input?? Inizialmente ho pensato di svolgere la potenza utilizzando la formula di DeMoivre e quindi trasformare il numero complesso $z-i$ in forma trigonometrica ma l'argomento sarebbe $arctan(-1/z)$ per cui mi sono fermato !!
$(z-i)^6=-8$. ho sviluppato $(z-i)^6$ ma non sono arrivato a niente e inoltre sono certo che anzichè svolgere tutti i calcoli esista una scorciatoia !! Potreste darmi un input?? Inizialmente ho pensato di svolgere la potenza utilizzando la formula di DeMoivre e quindi trasformare il numero complesso $z-i$ in forma trigonometrica ma l'argomento sarebbe $arctan(-1/z)$ per cui mi sono fermato !!
Risposte
Ma perchè non prendere le radici seste di ambo i membri in [tex]$(z-\imath)^6=-8$[/tex]?
Sarebbe la cosa più naturale da fare... Quale scorciatoia ti serve più?
Sarebbe la cosa più naturale da fare... Quale scorciatoia ti serve più?
Ma per fare la radice sesta di $z-i$ non devo prima trasformare in forma trigonometrica ???
Guarda che devi fare la radice sesta di [tex]$(z-\imath)^6$[/tex]...
Un po' come calcolare la radice quadrata di [tex]$2^2$[/tex], no?
Un po' come calcolare la radice quadrata di [tex]$2^2$[/tex], no?
@Gugo: però la radice sesta complessa dovrebbe dare 6 valori in uscita [è una funzione polidroma] quindi anche io sarei passato in forma trigonometrica... Anche se non mi sento sicuro al 100%! Di sicuro tu hai in mente qualche scorciatoia 
Beh, dai se cominciamo a farci questi problemi per un'equazione così fessa non se ne esce più...
Se proprio vogliamo essere formali, diciamo [tex]$\zeta_k (z)$[/tex] le radici seste distinte di [tex]$z-\imath$[/tex] e [tex]$w_h$[/tex] le radici seste distinte di [tex]$-8$[/tex] (con [tex]$k,h=0,\ldots ,5$[/tex]).
Per risolvere l'equazione [tex]$(z-\imath)^6=-8$[/tex] dovremmo trovare [tex]$z$[/tex] da ognuna delle [tex]$36$[/tex] equazioni [tex]$\zeta_k(z)=w_h$[/tex] (con [tex]$k,h=0,\ldots ,5$[/tex]).
Dico che le equazioni appena descritte hanno solo [tex]$6$[/tex] soluzioni distinte; in altre parole, dette [tex]$z_0,\ldots, z_5$[/tex] le soluzioni di [tex]$\zeta_0(z)=w_h$[/tex] ossia di [tex]$z-\imath =w_h$[/tex] ([tex]$h=0,\ldots ,5$[/tex]), allora [tex]$z_0,\ldots ,z_5$[/tex] sono soluzioni anche di:
[tex]$\zeta_k(z)=w_h$[/tex] per [tex]$k=1,\ldots ,5$[/tex].
Infatti dal TFA segue che l'equazione [tex]$(z-\imath)^6=-8$[/tex] ha al massimo [tex]$6$[/tex] soluzioni, ergo le [tex]$36$[/tex] equazioni [tex]$\zeta_k(z)=w_h$[/tex] non possono avere più di [tex]$6$[/tex] soluzioni distinte (se ce ne fosse una settima, allora il TFA risulterebbe violato e perciò il polinomio [tex]$(z-\imath)^6+8$[/tex] dovrebbe essere identicamente nullo, il che è assurdo).
Per dimostrare che le soluzioni delle [tex]$36$[/tex] equazioni sono esattamente [tex]$6$[/tex] e tutte distinte basta quindi isolare un gruppo di equazioni che hanno [tex]$6$[/tex] soluzioni distinte: un gruppo di tal fatta è proprio quello dato dalle sei equazioni lineari:
[tex]$z-\imath =w_h$[/tex] (con [tex]$h=0,\ldots ,5$[/tex])
dalle quali si ricava:
[tex]$z_h=w_h+\imath$[/tex] (per [tex]$h=0,\ldots ,k$[/tex]).
Pertanto esse sono tutte le soluzioni dell'equazione di partenza.
La morale è: se hai un'equazione del tipo [tex]$(z-\zeta)^N=\omega$[/tex] allora tutte le soluzioni si ottengono prendendo le sei equazioni lineari [tex]$z-\zeta=w_h$[/tex] ove [tex]$w_h$[/tex] sono le [tex]$N$[/tex] radici [tex]$N$[/tex]-esime complesse distinte di [tex]$\omega$[/tex].
Se proprio vogliamo essere formali, diciamo [tex]$\zeta_k (z)$[/tex] le radici seste distinte di [tex]$z-\imath$[/tex] e [tex]$w_h$[/tex] le radici seste distinte di [tex]$-8$[/tex] (con [tex]$k,h=0,\ldots ,5$[/tex]).
Per risolvere l'equazione [tex]$(z-\imath)^6=-8$[/tex] dovremmo trovare [tex]$z$[/tex] da ognuna delle [tex]$36$[/tex] equazioni [tex]$\zeta_k(z)=w_h$[/tex] (con [tex]$k,h=0,\ldots ,5$[/tex]).
Dico che le equazioni appena descritte hanno solo [tex]$6$[/tex] soluzioni distinte; in altre parole, dette [tex]$z_0,\ldots, z_5$[/tex] le soluzioni di [tex]$\zeta_0(z)=w_h$[/tex] ossia di [tex]$z-\imath =w_h$[/tex] ([tex]$h=0,\ldots ,5$[/tex]), allora [tex]$z_0,\ldots ,z_5$[/tex] sono soluzioni anche di:
[tex]$\zeta_k(z)=w_h$[/tex] per [tex]$k=1,\ldots ,5$[/tex].
Infatti dal TFA segue che l'equazione [tex]$(z-\imath)^6=-8$[/tex] ha al massimo [tex]$6$[/tex] soluzioni, ergo le [tex]$36$[/tex] equazioni [tex]$\zeta_k(z)=w_h$[/tex] non possono avere più di [tex]$6$[/tex] soluzioni distinte (se ce ne fosse una settima, allora il TFA risulterebbe violato e perciò il polinomio [tex]$(z-\imath)^6+8$[/tex] dovrebbe essere identicamente nullo, il che è assurdo).
Per dimostrare che le soluzioni delle [tex]$36$[/tex] equazioni sono esattamente [tex]$6$[/tex] e tutte distinte basta quindi isolare un gruppo di equazioni che hanno [tex]$6$[/tex] soluzioni distinte: un gruppo di tal fatta è proprio quello dato dalle sei equazioni lineari:
[tex]$z-\imath =w_h$[/tex] (con [tex]$h=0,\ldots ,5$[/tex])
dalle quali si ricava:
[tex]$z_h=w_h+\imath$[/tex] (per [tex]$h=0,\ldots ,k$[/tex]).
Pertanto esse sono tutte le soluzioni dell'equazione di partenza.
La morale è: se hai un'equazione del tipo [tex]$(z-\zeta)^N=\omega$[/tex] allora tutte le soluzioni si ottengono prendendo le sei equazioni lineari [tex]$z-\zeta=w_h$[/tex] ove [tex]$w_h$[/tex] sono le [tex]$N$[/tex] radici [tex]$N$[/tex]-esime complesse distinte di [tex]$\omega$[/tex].
Ok, grazie mille della spiegazione
Grazie a entrambi !!!
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